Explicación:
Para resolver las integrales por partes de los ejercicios dados, utilizaremos la fórmula de integración por partes:
∫u dv = uv - ∫v du
Vamos a resolver cada integral paso a paso:
1. ∫sen⁴x dx
Para esta integral, seleccionamos u = sen²x y dv = sen²x dx.
Calculamos du y v:
du = 2senx cosx dx
v = ∫sen²x dx = -1/2 cos2x
Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes:
= -1/2 sen²x cos2x - ∫(-1/2 cos2x)(2senx cosx) dx
= -1/2 sen²x cos2x + ∫senx cosx dx
Volvemos a aplicar integración por partes a la nueva integral:
Seleccionamos u = senx y dv = cosx dx
Calculamos du y v:
du = cosxdx
v = senx
Ahora aplicamos nuevamente la fórmula de integración por partes:
= -1/2 sen²x cos2x + senx cosx - ∫senxcosxdx
= -1/2 sen²x cos2x + senx cos x - ∫senxd(sen x)
= -1/2 sen² x cos 2 x + sen x cos x - 1/3 sen³ x + C
Por lo tanto, la integral ∫sen⁴xdx es igual a -1/2 sen² xcos 2 x + sen xcos x - 1/3 sen³ x + C.
Ahora pasemos a la segunda integral:
2. ∫sen⁵xdx
Para esta integral, seleccionamos u = sen⁴ x y dv = sen x dx.
Calculamos du y v:
du = 4sen³xcosxdx
v = -cos x
Aplicamos la fórmula de integración por partes:
= -sen⁴xcos x - ∫(-cos x)(4sen³xcos x)dx
= -sen⁴xcos x + 4∫sen³xcos²xdx
En este punto, podemos utilizar una identidad trigonométrica para simplificar la integral restante:
∫sen³xcos²xdx = 1/3 sen³ x- 1/5 sin⁵ x.
Sustituimos esta solución en nuestra integral inicial:
= -sen⁴xcos x + 4(1/3 sen³ x- 1/5 sin⁵ x) + C
= -sen⁴xcos x + 4/3 sen³ x- 4/5 sin⁵ x + C
Por lo tanto, la integral ∫sen⁵xdx es igual a -sen⁴xcos x + 4/3 sen³ x- 4/5 sin⁵ x + C.
