Para establecer la distancia desde un punto A en las orillas de un río a un punto B de éste, un agrimensor selecciona un punto P a 500 metros del punto A, las medidas del ángulo BAP y BPA son 38° y 47°32'. Determia los grados del ángulo B.

Para determinar los grados del ángulo B en este problema, podemos utilizar la ley de los senos en el triángulo APB. La ley de los senos establece que en cualquier triángulo, la proporción entre un lado y el seno del ángulo opuesto es constante. Aquí está el paso a paso para resolver este problema:

1. En el triángulo APB, tenemos los siguientes datos:

- Lado AB (opuesto al ángulo B) es desconocido.

- Lado AP = 500 metros.

- Ángulo BAP = 38°.

- Ángulo BPA = 47°32'.

2. Utilizamos la ley de los senos para relacionar los lados y ángulos del triángulo:

(AP / sen(B)) = (AB / sen(A))

3. Despejamos AB (lado opuesto al ángulo B) de la fórmula:

AB = (AP * sen(A)) / sen(B)

4. Calculamos el valor del ángulo A:

Ángulo A = 180° - 38° - 47°32'

≈ 94.68°

5. Sustituimos los valores conocidos en la fórmula:

AB = (500 * sen(94.68°)) / sen(38°)

6. Calculamos el valor de AB:

AB ≈ (500 * 0.9998) / 0.6157

≈ 814.87 metros

7. Finalmente, para hallar el ángulo B, utilizamos la ley de los senos nuevamente:

(AB / sen(B)) = (AP / sen(A))

sen(B) = AB / (AP / sen(A))

B = arcsen(AB / (AP / sen(A)))

8. Sustituimos los valores conocidos para encontrar el ángulo B:

B ≈ arcsen(814.87 / (500 / 0.9998))

≈ arcsen(1.62974)

≈ 1 radian

≈ 57.3 grados

Por lo tanto, el ángulo B es aproximadamente 57.3 grados en este caso.