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Para encontrar el volumen de una pirámide, se usa la fórmula:
\[ V = \frac{1}{3} \times A_b \times h \]
donde \( A_b \) es el área de la base y \( h \) es la altura de la pirámide.
En este caso, la base de la pirámide es un trapecio isósceles con:
- Base menor (\( b_1 \)) = 2 cm
- Base mayor (\( b_2 \)) = 4 cm
- Lados iguales = \(\sqrt{10}\) cm
Primero, calculamos el área de la base (\( A_b \)) del trapecio.
La fórmula para el área de un trapecio es:
\[ A_b = \frac{1}{2} \times (b_1 + b_2) \times h_t \]
donde \( h_t \) es la altura del trapecio. Para encontrar \( h_t \), usamos el hecho de que el trapecio es isósceles. Dividimos el trapecio en dos triángulos rectángulos y un rectángulo central.
La longitud del rectángulo central es \( b_2 - b_1 = 4 \text{ cm} - 2 \text{ cm} = 2 \text{ cm} \).
Cada lado del triángulo rectángulo tiene una base de \( \frac{b_2 - b_1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \text{ cm} \) y una hipotenusa de \(\sqrt{10} \text{ cm} \).
Usamos el teorema de Pitágoras para encontrar la altura del trapecio (\( h_t \)):
\[ h_t = \sqrt{(\sqrt{10})^2 - 1^2} = \sqrt{10 - 1} = \sqrt{9} = 3 \text{ cm} \]
Ahora, calculamos el área del trapecio:
\[ A_b = \frac{1}{2} \times (2 + 4) \times 3 = \frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9 \text{ cm}^2 \]
Finalmente, usando la altura de la pirámide (\( h = 4 \text{ cm} \)):
\[ V = \frac{1}{3} \times 9 \times 4 = \frac{1}{3} \times 36 = 12 \text{ cm}^3 \]
El volumen de la pirámide es \( 12 \text{ cm}^3 \).