Explicación paso a paso:
Número de divisores de N que son múltiplos de 25
Problema:
Calcular el número de divisores positivos de N = 2⁸x3²x5⁴ que son múltiplos de 25.
Solución:
Para determinar el número de divisores positivos de N que son múltiplos de 25, es necesario analizar la factorización prima de N y la factorización prima de 25.
Factorización prima de N:
N = 2⁸x3²x5⁴ = (2³)² x (3²) x (5²)²
Factorización prima de 25:
25 = 5²
Múltiplos de 25:
Los múltiplos de 25 son aquellos que se pueden obtener al multiplicar 25 por un número entero positivo. En este caso, solo nos interesan aquellos que son divisores de N.
Divisores de N que son múltiplos de 25:
Para obtener los divisores de N que son múltiplos de 25, debemos considerar los exponentes de 2 y 5 en la factorización prima de N.
* Exponente de 2: El exponente de 2 en N es 2. Esto significa que existen 2+1 = 3 divisores de N que solo contienen potencias de 2: 2⁰ = 1, 2¹ = 2, y 2² = 4.
* Exponente de 5: El exponente de 5 en N es 2. Esto significa que existen 2+1 = 3 divisores de N que solo contienen potencias de 5: 5⁰ = 1, 5¹ = 5, y 5² = 25.
Combinando divisores:
Para obtener los divisores de N que son múltiplos de 25, podemos combinar los divisores que solo contienen potencias de 2 con los divisores que solo contienen potencias de 5. Esto nos da un total de 3 x 3 = 9 divisores.
Conclusión:
Existen 9 divisores positivos de N = 2⁸x3²x5⁴ que son múltiplos de 25.
Explicación:
* La factorización prima de un número se obtiene descomponiéndolo en sus factores primos elevados a sus respectivas potencias.
* Los divisores de un número se obtienen combinando las potencias de sus factores primos.
* Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando el número por un número entero positivo.
* En este caso, solo nos interesan los divisores de N que son múltiplos de 25, por lo que solo consideramos los exponentes de 2 y 5 en la factorización prima de N.
* Al combinar los divisores que solo contienen potencias de 2 con los divisores que solo contienen potencias de 5, obtenemos el número total de divisores de N que son múltiplos de 25.
