Respuesta :
Respuesta: x≈3.591.
Explicación paso a paso:
Para resolver la ecuación
log
(
�
)
2
−
log
(
�
)
=
1
log(x)
2−log(x)
=1 con base tres, primero observemos que se puede reescribir como una ecuación exponencial utilizando la definición de logaritmo:
log
�
(
�
)
=
�
si y solo si
�
�
=
�
log
b
(y)=zsi y solo sib
z
=y
Entonces, la ecuación se convierte en:
3
1
=
log
(
�
)
2
−
log
(
�
)
3
1
=log(x)
2−log(x)
Ahora, elevamos ambos lados a la potencia de 1 para simplificar la ecuación:
3
=
log
(
�
)
2
−
log
(
�
)
3=log(x)
2−log(x)
Para simplificar más, observemos que la ecuación implica una potencia de un logaritmo. Esto puede simplificarse si lo consideramos como una función exponencial y aplicamos las propiedades de las potencias. Utilizaremos la propiedad:
(
�
�
)
�
=
�
�
�
(a
b
)
c
=a
bc
Entonces, aplicamos esta propiedad a la ecuación:
3
=
(
log
(
�
)
2
)
−
log
(
�
)
3=(log(x)
2
)
−log(x)
3
=
log
(
�
)
2
⋅
(
−
log
(
�
)
)
3=log(x)
2⋅(−log(x))
3
=
log
(
�
)
−
2
log
(
�
)
3=log(x)
−2log(x)
Ahora, utilizando la propiedad de los logaritmos de que
log
�
(
�
�
)
=
�
⋅
log
�
(
�
)
log
b
(a
c
)=c⋅log
b
(a), tenemos:
3
=
(
2
log
(
�
)
)
⋅
log
(
�
)
3=(2log(x))⋅log(x)
3
=
2
(
log
(
�
)
)
2
3=2(log(x))
2
Esto nos lleva a una ecuación cuadrática en términos de
log
(
�
)
log(x):
2
(
log
(
�
)
)
2
−
3
=
0
2(log(x))
2
−3=0
Para resolver esta ecuación cuadrática, podemos utilizar la fórmula cuadrática:
log
(
�
)
=
−
�
±
�
2
−
4
�
�
2
�
log(x)=
2a
−b±
b
2
−4ac
Donde:
�
=
2
a=2
�
=
0
b=0
�
=
−
3
c=−3
Sustituimos estos valores en la fórmula cuadrática:
log
(
�
)
=
−
(
0
)
±
(
0
)
2
−
4
(
2
)
(
−
3
)
2
(
2
)
log(x)=
2(2)
−(0)±
(0)
2
−4(2)(−3)
log
(
�
)
=
±
24
4
log(x)=
4
±
24
log
(
�
)
=
±
2
6
4
log(x)=
4
±2
6
log
(
�
)
=
±
6
2
log(x)=
2
±
6
Ahora, recordemos que el logaritmo es una función que retorna valores reales positivos o negativos dependiendo del signo de su argumento. Pero en este caso, dado que estamos trabajando con logaritmos, el argumento
�
x debe ser positivo. Entonces, tomamos el valor positivo:
log
(
�
)
=
6
2
log(x)=
2
6
Ahora, resolvemos
�
x:
�
=
3
6
2
x=3
2
6
�
≈
3
1.225
x≈3
1.225
�
≈
3.591
x≈3.591
Por lo tanto, la solución aproximada de la ecuación es
�
≈
3.591
x≈3.591.