Explicación paso a paso:
Para resolver la ecuación log √x - log 3 = 1/2, podemos utilizar las propiedades de los logaritmos para simplificarla.
1. Comencemos aplicando la regla del cociente de logaritmos, que establece que log(a) - log(b) = log(a/b).
Entonces, log √x - log 3 = log (√x / 3).
2. A continuación, podemos reescribir √x / 3 como un solo logaritmo usando las propiedades de los logaritmos.
log (√x / 3) = log (√x) - log(3).
3. Ahora, podemos simplificar log(√x) usando la propiedad de que log(√a) = (1/2)log(a).
Por lo tanto, log(√x) = (1/2)log(x).
Sustituyamos esto en la ecuación:
(1/2)log(x) - log(3) = 1/2.
4. Ahora tenemos una ecuación más simple:
(1/2)log(x) - log(3) = 1/2.
5. Para simplificar aún más, podemos combinar los logaritmos en el lado izquierdo usando las propiedades de los logaritmos.
(1/2)log(x) - log(3) = 1/2
log(x^(1/2)) - log(3) = 1/2
log(√x) - log(3) = 1/2
6. Aplicamos nuevamente la regla del cociente para combinar los logaritmos en el lado izquierdo:
log(√x / 3) = 1/2.
7. Ahora que tenemos una ecuación simplificada, podemos reescribirla sin logaritmos:
√x / 3 = 10^(1/2).
8. Finalmente, resolvemos para x aislando en un lado de la ecuación:
√x / 3 = √10.
Multiplicamos ambos lados por 3 para eliminar la fracción:
√x = 3√10.
Elevamos al cuadrado ambos lados para resolver x:
x = (3√10)^2
x = 9 * 10
x = 90.
Por lo tanto, la solución de la ecuación es x = 90.
*Espero te sirva*
Explicación paso a paso:
La expresión es:
[tex] log(\sqrt{x}) - log(3) = \frac{1}{2} [/tex]
Despejando el término que contiene a x:
[tex] log(\sqrt{x}) = \frac{1}{2} + log(3)[/tex]
La raíz cuadrada puede expresarse como una potencia:
[tex] log(x^\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + log(3)[/tex]
En un logaritmo, la potencia puede escribirse multiplicando:
[tex] \frac{1}{2} \cdot log(x) = \frac{1}{2} + log(3) [/tex]
El 2 que está dividiendo del lado izquierdo pasa multiplicando a lado derecho:
[tex] log(x) = 2(\frac{1}{2} + log(3)) [/tex]
Haciendo el producto:
[tex] log(x) = 1 + 2log(3) [/tex]
Para despejar x se aplica la operación contraria del logaritmo, es decir, la potencia base 10. Ambos lados de la igualdad se escriben como potencias base 10:
[tex] 10^{log(x)} = 10^{1 + 2log(3)} [/tex]
El logaritmo se cancela con la potencia base 10:
[tex] x = 10^{1 + 2log(3)} [/tex]
Con la ayuda de una calculadora científica se puede obtener el valor de x:
[tex] x = 90 [/tex]
Este es el valor que satisface la ecuación original:
[tex] log(\sqrt{x}) - log(3) = \frac{1}{2} [/tex]
[tex] log(\sqrt{90}) - log(3) = \frac{1}{2} [/tex]
