Respuesta:
a) 3cm
b) V ≈ 0.06545 litros y S ≈ 132.73 cm^2
c) V ≈ 904.32 cm^3 y S ≈ 452.39 cm^2
Explicación paso a paso:
- Cilindro de revolución. (literal a)
La función que describe la forma del cilindro es:
f(x) = r
Área lateral
A_lateral = 2π ∫[0, h] f(x) dx
A_lateral = 2π ∫[0, h] r dx
A_lateral = 2πr [x] desde 0 hasta h
A_lateral = 2πr (h - 0)
A_lateral = 2πrh
Igualdad de áreas
2πrh = 36π
Despejar la altura
h = 36π / (2πr) h = 36 / (2r) h = 18 / r
Sustituir el valor del radio:
h = 18 / 6 h = 3 cm
- Cono de Barquito (literal b)
La fórmula para calcular la capacidad de un sólido de revolución es:
V = π ∫[a, b] (f(x))^2 dx
Donde f(x) es la función que describe la forma del sólido, y a y b son los límites de integración.
f(x) = (5/12)x
los límites de integración irán desde 0 hasta 12
V = π ∫[0, 12] ((5/12)x)^2 dx
V = π ∫[0, 12] (25/144)x^2 dx
V = (25/144)π [x^3/3] desde 0 hasta 12
V = (25/144)π [(12)^3/3 - (0)^3/3]
V = (25/144)π (1728/3)
V ≈ 65.45 cm^3
Para convertir el volumen de centímetros cúbicos a litros, dividimos entre 1000:
V ≈ 65.45 cm^3 / 1000
V ≈ 0.06545 litros
Superficie
La fórmula para calcular la superficie de un sólido de revolución es:
S = 2π ∫[a, b] f(x) √(1 + (f'(x))^2) dx
Donde f'(x) es la derivada de f(x).
En este caso, la derivada de f(x) es:
f'(x) = 5/12
S = 2π ∫[0, 12] (5/12)x √(1 + (5/12)^2) dx
S = 2π ∫[0, 12] (5/12)x √(169/144) dx
S = (5/6)π √(169/144) [x^2/2] desde 0 hasta 12
S = (5/6)π √(169/144) [(12)^2/2 - (0)^2/2]
S = (5/6)π √(169/144) (144/2)
S ≈ 132.73 cm^2
- Pelota de goma (literal c)
La función que describe la forma de la esfera es:
f(x) = √(r^2 - x^2)
Volumen:
V = π ∫[-r, r] (f(x))^2 dx
V = π ∫[-6, 6] (√(6^2 - x^2))^2 dx
V = π ∫[-6, 6] (36 - x^2) dx
V = π [36x - (1/3)x^3] desde -6 hasta 6
V = π [(36)(6) - (1/3)(6)^3 - ((36)(-6) - (1/3)(-6)^3)]
V = π (216 - 72 - (-216) + 72)
V = π (432)
V ≈ 904.32 cm^3
Superficie ( área )
S = 2π ∫[-r, r] f(x) √(1 + (f'(x))^2) dx
S = 2π ∫[-6, 6] √(6^2 - x^2) √(1 + (x^2/(6^2 - x^2))) dx
S = 2π ∫[-6, 6] √(6^2 - x^2) √(36/(36 - x^2)) dx
S = 2π [36 arcsin(x/6) + x√(36 - x^2)] desde -6 hasta 6
S = 2π [(36)(π/2) + (6)√(36 - 6^2) - ((36)(-π/2) + (-6)√(36 - (-6)^2))]
S = 2π (36π - 0 + 36π - 0)
S = 4π (36)
S ≈ 452.39 cm^2
Espero haberte ayudado, ¡Saludos!