Una fábrica de artefactos eléctricos y que se proyecta en ingresar al mercado de celulares,
estudia los costos de producción de estos. Los técnicos estiman que el costo unitario de
producción es de S/. 100. El costo fijo que se requiere para establecer la línea de
producción se calcula en 3 millones de soles anuales. Los especialistas del mercado
tecnológico de celulares conocen que la ecuación de la demanda es q=35p+40000, donde
p es el precio por unidad, cuando los compradores demandan q celulares por año. A) Halle la ecuación del ingreso en términos del precio "p". B) Halle la ecuación del costo total en términos del precio "p". C) Halle la ecuación de la utilidad en términos del precio "p". D) Determine el precio que maximiza la utilidad del fabricante. E) Determine la utilidad máxima que podría obtener el fabricante. F) Gráfica la ecuación de la utilidad

El costo total (CT) se compone del costo fijo (CF) y el costo variable (CV). El costo variable es el costo unitario de producción (S/. 100) multiplicado por la cantidad producida (q):

**CV = 100q**

Sustituyendo la ecuación de la demanda (q = 35p + 40000) en la ecuación del costo variable:

**CV = 100(35p + 40000)**

**CV = 3500p + 4000000**

El costo total es la suma del costo fijo y el costo variable:

**CT = CF + CV**

**CT = 3000000 + 3500p + 4000000**

**CT = 7000000 + 3500p**

**C) Ecuación de la utilidad en términos del precio "p":**

La utilidad (U) es la diferencia entre el ingreso total (IT) y el costo total (CT):

**U = IT - CT**

**U = (35p^2 + 40000p) - (7000000 + 3500p)**

**U = 35p^2 + 3500p - 7000000**

**D) Precio que maximiza la utilidad:**

Para encontrar el precio que maximiza la utilidad, se debe derivar la ecuación de la utilidad con respecto a "p" e igualar la derivada a cero:

**dU/dp = 70p + 3500 = 0**

**p = -50**

Sin embargo, un precio negativo no tiene sentido en este contexto. Por lo tanto, no existe un precio que maximice la utilidad dentro del rango de precios factibles.

**E) Utilidad máxima:**

Aunque no existe un precio que maximice la utilidad, podemos analizar la utilidad en dos casos:

* **Precio p = 0:** En este caso, la utilidad sería:

**U = 35(0)^2 + 3500(0) - 7000000**

**U = -7000000**

* **Precio p = 100:** En este caso, la utilidad sería:

**U = 35(100)^2 + 3500(100) - 7000000**

**U = -6000000**

En ambos casos, la utilidad es negativa. Esto significa que, con los costos y la demanda dados, la empresa no obtendría utilidades sin importar el precio que fije.

**F) Gráfica de la ecuación de la utilidad:**

La ecuación de la utilidad es una parábola cóncava hacia abajo. No tiene un máximo dentro del rango de precios factibles, por lo que la gráfica no intersecta el eje x. La gráfica muestra que la utilidad disminuye a medida que aumenta el precio.

**Conclusión:**

En este escenario, la empresa no obtendría utilidades con la producción y venta de celulares, sin importar el precio que fije. Se recomienda revisar los costos de producción, la demanda del mercado y las estrategias de venta para identificar posibles soluciones que permitan obtener utilidades.