Respuesta:
Para encontrar las ecuaciones ordinaria y general de la parábola cuya directriz es \(x - 5 = 0\) y cuyo vértice está en \((-2, 1)\), seguimos estos pasos:
1. **Identificar el tipo de parábola**:
- La directriz \(x - 5 = 0\) es una línea vertical, lo que indica que la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.
2. **Determinar el foco**:
- La distancia del vértice a la directriz es \(|h - k| = |x_{\text{vértice}} - x_{\text{directriz}}|\).
- En este caso, \(x_{\text{directriz}} = 5\) y \(x_{\text{vértice}} = -2\).
- Entonces, la distancia \(p\) es: \[ p = \left| -2 - 5 \right| = 7 \]
- Como la parábola abre hacia la derecha (porque el vértice \((-2, 1)\) está a la izquierda de la directriz \(x - 5 = 0\)), \(p\) es positivo.
- El foco está \(p\) unidades a la derecha del vértice: \[ \text{Foco} = (-2 + 7, 1) = (5, 1) \]
3. **Ecuación ordinaria de la parábola**:
- Para una parábola que abre horizontalmente (hacia la derecha) con vértice \((h, k)\) y distancia \(p\), la ecuación es: \[ (y - k)^2 = 4p(x - h) \]
- Sustituyendo \((h, k) = (-2, 1)\) y \(p = 7\): \[ (y - 1)^2 = 4 \cdot 7 (x + 2) \]
- Simplificando: \[ (y - 1)^2 = 28(x + 2) \]
4. **Ecuación general de la parábola**:
- Para convertir la ecuación ordinaria a la forma general \(Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0\), expandimos y reordenamos:
\[ (y - 1)^2 = 28(x + 2) \]
\[ y^2 - 2y + 1 = 28x + 56 \]
\[ y^2 - 2y - 28x - 55 = 0 \]
Por lo tanto, las ecuaciones de la parábola son:
- **Ecuación ordinaria**: \[ (y - 1)^2 = 28(x + 2) \]
- **Ecuación general**: \[ y^2 - 2y - 28x - 55 = 0 \]
