Respuesta:
Para la función \( f(x) = -2x^2 - 6x - 7 \):
1. **Vértice**:
El vértice de una función cuadrática de la forma \( f(x) = ax^2 + bx + c \) se encuentra en \( x = -\frac{b}{2a} \). En este caso, \( a = -2 \) y \( b = -6 \).
\[
x = -\frac{-6}{2(-2)} = \frac{6}{-4} = -1.5
\]
Sustituyendo \( x = -1.5 \) en la función para encontrar \( f(-1.5) \):
\[
f(-1.5) = -2(-1.5)^2 - 6(-1.5) - 7 = -2(2.25) + 9 - 7 = -4.5 + 9 - 7 = -2
\]
Por lo tanto, el vértice es \( \left( -1.5, -2 \right) \).
2. **Dominio**:
El dominio de una función cuadrática es todos los números reales, ya que no hay restricciones para los valores que puede tomar \( x \).
3. **Recorrido**:
El recorrido de una función cuadrática que abre hacia abajo (como en este caso, donde \( a = -2 < 0 \)) es \( (-\infty, f(-1.5}] \). Esto significa que el rango de la función es todos los números reales menores o iguales a \( f(-1.5) \), que es \( -2 \).
4. **Gráfica**:
La gráfica de \( f(x) = -2x^2 - 6x - 7 \) es una parábola que abre hacia abajo, con el vértice en \( \left( -1.5, -2 \right) \). Puedes trazar la gráfica usando el vértice y puntos adicionales si es necesario para obtener una representación visual precisa de la función.
