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Para determinar la relación lineal entre el costo de producción \( C \) y la cantidad de televisores producidos \( x \), usaremos la información dada para encontrar la ecuación de la recta que relaciona estas dos variables.
Sabemos que:
- El costo de producir 30 televisores es $25,000.
- El costo de producir 40 televisores es $30,000.
- La capacidad máxima de producción diaria es de 50 aparatos.
Dado que la relación es lineal, podemos expresar el costo de producción \( C \) en función de la cantidad de televisores producidos \( x \) mediante una ecuación de la forma:
\[ C = mx + b \]
donde \( m \) es la pendiente y \( b \) es la intersección con el eje \( y \).
1. **Encontrar la pendiente \( m \):**
Usamos los dos puntos dados \((30, 25000)\) y \((40, 30000)\):
\[ m = \{C_2 - C_1}{x_2 - x_1} = }30000 - 25000}{40 - 30} = \frac{5000}{10} = 500 \]
2. **Encontrar la intersección \( b \):**
Usamos uno de los puntos para encontrar \( b \). Usaremos el punto \((30, 25000)\):
\[ 25000 = 500(30) + b \]
\[ 25000 = 15000 + b \]
\[ b = 25000 - 15000 \]
\[ b = 10000 \]
Por lo tanto, la ecuación que relaciona el costo de producción \( C \) con la cantidad de televisores producidos \( x \) es:
\[ C = 500x + 10000 \]
3. **Calcular el costo de producción para la capacidad máxima de 50 aparatos:**
Usamos la ecuación con \( x = 50 \):
\[ C = 500(50) + 10000 \]
\[ C = 25000 + 10000 \]
\[ C = 35000 \]
Por lo tanto, el costo de producción para producir 50 televisores es de $35,000.