Respuesta :
Para calcular el volumen de un cilindro recto, se utiliza la fórmula:
\[ V = \pi r^2 h \]
Donde:
- \( V \) es el volumen
- \( r \) es el radio de la base
- \( h \) es la altura
Dado que la longitud de la circunferencia que pasa por el punto de intersección de las diagonales del rectángulo (que es la circunferencia de la base del cilindro) es 2, podemos encontrar el radio \( r \) utilizando la fórmula de la circunferencia:
\[ 2\pi r = 2 \]
Resolviendo para \( r \):
\[ r = \frac{2}{2\pi} = \frac{1}{\pi} \]
Ahora, sabemos que el área del rectángulo que genera el cilindro es 10 m². La altura del cilindro es uno de los lados del rectángulo, y la base del cilindro se genera a partir del otro lado del rectángulo. Si llamamos a la altura \( h \), tenemos que el área del rectángulo \( A \) es:
\[ A = 10 = h \cdot 2r \]
Sustituyendo \( r = \frac{1}{\pi} \):
\[ 10 = h \cdot 2 \left( \frac{1}{\pi} \right) \]
Resolviendo para \( h \):
\[ 10 = \frac{2h}{\pi} \]
\[ h = \frac{10\pi}{2} \]
\[ h = 5\pi \]
Ahora que tenemos \( r \) y \( h \), podemos calcular el volumen del cilindro:
\[ V = \pi r^2 h \]
\[ V = \pi \left( \frac{1}{\pi} \right)^2 (5\pi) \]
\[ V = \pi \left( \frac{1}{\pi^2} \right) (5\pi) \]
\[ V = \pi \left( \frac{5}{\pi} \right) \]
\[ V = 5 \]
Por lo tanto, el volumen del cilindro es \( 5 \, \text{m}^3 \).