Veamos. Se requieren conocimientos del cálculo de derivadas.
Sean R y H el radio de la base y la altura del cilindro, respectivamente.
Superficie del cilindro sin tapa: superficie lateral más base.
S = 2 π R H + π R²
Por otro lado V = π R² H = 200 litros = 200 dm³
Expresamos la superficie en función del radio: H = 200 / (π R²)
S = 2 π R . 200 / (π R²) + π R²
S = 400 / R + π R²
Una función es mínima o máxima en los puntos en que su derivada es nula.
Derivamos respecto de R:
S' = - 400 / R² + 2 π R = 0; despejamos R:
R³ = 200 / π
R ≅ 3,99 dm = 39,9 cm
H = 200 / (π , 3,99²)
H = 3,99 dm = 39,9 cm
S = 2 π . 3,99 . 3,99 + π . 3,99²
S = 150 dm²
Adjunto gráfico R - S con el punto crítico destacado.
Saludos.
