Respuesta :
La ecuación de la recta L2 -perpendicular a L1- y que pasa por el punto P (5,4) está dada por:
Expresada en la Forma Explícita:
[tex]\large\boxed {\bold { y = -\frac{1}{5} x +5 }}[/tex]
Expresada en la Forma General:
[tex]\large\boxed {\bold { x+ 5y -25 = 0 }}[/tex]
Debemos primero hallar la pendiente de la recta -a la que llamamos L1- que pasa por A (1,1) y B (3,11)
Donde denotamos a la pendiente de la recta L1 que pasa por estos puntos como [tex]\bold { m_{1} }[/tex]
Por tanto dados dos puntos pertenecientes a una recta con coordenadas:
[tex]\bold { A \ (x_{1},y_{1} ) \ y \ \ B \ (x_{2},y_{2} )}[/tex]
Definimos a la pendiente m de una recta como el cociente entre la diferencia de las ordenadas y la diferencia de las abscisas de los puntos conocidos pertenecientes a la recta
Lo que resulta en
[tex]\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}[/tex]
Determinamos la pendiente de la recta L1 que pasa por los puntos A (1,1) y B (3,11)
[tex]\bold { A\ (1,1) \ ( x_{1},y_{1}) \ \ \ B \ ( 3,11) \ ( x_{2},y_{2}) }[/tex]
Hallamos la pendiente de la recta L1
[tex]\large\boxed{\bold {m_{1} = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { m_{1} = \frac{ 11 - (1) }{3 - (1) } }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {m_{1} = \frac{11-1 }{3-1 } }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {m_{1} = \frac{ 10 }{2 } }}[/tex]
[tex]\textsf{Dividiendo }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold {m_{1} =5 }}[/tex]
La pendiente de L1 es igual a 5
Determinamos la pendiente de una recta perpendicular
Denotaremos a la pendiente de la recta perpendicular [tex]\bold { m_{2} }[/tex]
La pendiente de una recta perpendicular debe ser inversa y cambiada de signo
En otras palabras debe tener una pendiente que sea el recíproco negativo de la pendiente original [tex]\bold { m_{1} }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold {m_{2} =- \frac{ 1 }{ m_{1} } }}[/tex]
[tex]\textsf{Reemplazamos valores y resolvemos}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {m_{2} =- \frac{ 1 }{ 5 } }}[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold {m_{2} =- \frac{1}{5} }}[/tex]
Concluyendo que cualquier recta perpendicular a la recta L1 debe tener una pendiente cuyo valor será m = -1/5
Hallamos la recta L2 -perpendicular a la recta L1- que pasa por el punto P (5,4)
Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta perpendicular solicitada
Cuya forma está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}[/tex]
Donde x1 e y1 son las coordenadas de un punto cualesquiera conocido perteneciente a la recta y donde m es la pendiente. Como conocemos el punto P (5,4) tomaremos x1 = 5 e y1 = 4
Dado que la recta debe ser perpendicular a la dada su pendiente m será igual a -1/5 [tex]\bold{m_{2} = -\frac{1}{5} }[/tex]
Por tanto:
[tex]\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold { - \frac{1}{5} } \\\large\textsf{y el punto dado } \bold {P\ (5,4) }[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y - (4) =- \frac{1}{5} \cdot (x - (5) )}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y-4 = -\frac{1}{5} \cdot (x-5 )}}[/tex]
Reescribimos la ecuación de la recta L2 -perpendicular a L1- que pasa por el punto P (5,4) en la forma pendiente punto de intercepción o pendiente ordenada al origen
También llamada forma principal o explícita
Que responde a la forma:
[tex]\large\boxed {\bold { y = mx +b }}[/tex]
Donde m es la pendiente y b la intersección en Y
[tex]\boxed {\bold { y-4 = -\frac{1}{5} \cdot (x-5 )}}[/tex]
Resolvemos para y
[tex]\boxed {\bold { y -4 = -\frac{1}{5} x + \frac{5}{5} }}[/tex]
[tex]\textsf{Dividiendo }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y -4 = -\frac{1}{5} x + 1 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y = -\frac{1}{5} x + 1+4 }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y = -\frac{1}{5} x +5 }}[/tex]
Habiendo hallado la recta L2 perpendicular a L1 y que pasa por el punto P (5,4) en la forma explícita
Reescribimos la ecuación de la recta perpendicular solicitada en la forma general de la recta
También llamada forma implícita
Que responde a la forma:
[tex]\large\boxed {\bold { Ax +By + C = 0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y = -\frac{1}{5} x +5 }}[/tex]
[tex]\textsf{Igualamos a cero }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y +\frac{1}{5} x -5 =0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\frac{1}{5} x+y -5 =0 }}[/tex]
Para obtener una ecuación general o implícita sin fracciones:
Multiplicamos la ecuación por 5
[tex]\boxed {\bold { \frac{1}{5} x\cdot 5 +y\cdot 5 -5 \cdot 5 = 0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \frac{1}{\not5} x\cdot\not 5 +y\cdot 5 -5 \cdot 5 = 0 }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Obteniendo }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { x+ 5y -25 = 0 }}[/tex]
Habiendo hallado la ecuación de la recta perpendicular solicitada en la forma general o implícita
Siendo las dos rectas perpendiculares
Se agrega gráfico como archivo adjunto
