Respuesta :
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Para encontrar las medidas de los ángulos internos de un triángulo con lados de longitud 8 cm, 19 cm y 7 cm, podemos utilizar la Ley de los cosenos y luego aplicar la fórmula para encontrar cada ángulo.
Dado un triángulo con lados de longitud \(a\), \(b\) y \(c\), y ángulos opuestos \(A\), \(B\) y \(C\) respectivamente, la Ley de los cosenos establece que:
\[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)
\]
Para encontrar los ángulos internos, necesitamos primero calcular el ángulo opuesto a cada lado utilizando la Ley de los cosenos y luego recordar que la suma de los ángulos internos de un triángulo es siempre 180 grados.
1. **Encontrar el ángulo opuesto al lado de longitud 8 cm**:
Utilizando la Ley de los cosenos para el lado de 8 cm:
\[
19^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos(A)
\]
Resolviendo la ecuación anterior encontramos el ángulo \(A\).
2. **Encontrar el ángulo opuesto al lado de longitud 19 cm**:
Utilizando la Ley de los cosenos para el lado de 19 cm:
\[
7^2 = 8^2 + 19^2 - 2 \cdot 8 \cdot 19 \cdot \cos(B)
\]
Resolviendo la ecuación anterior encontramos el ángulo \(B\).
3. **Calcular el ángulo restante**:
Una vez que tenemos los ángulos \(A\) y \(B\), podemos encontrar el ángulo restante \(C\) sabiendo que la suma de los ángulos internos de un triángulo es siempre 180 grados.
Realizando estos cálculos paso a paso, podrás determinar las medidas de todos los ángulos internos del triángulo con lados de longitud 8 cm, 19 cm y 7 cm. ¡Inténtalo!
Respuesta:
Para encontrar los ángulos internos de un triángulo con lados de longitudes 8 cm, 19 cm y 7 cm, podemos utilizar la fórmula del coseno para calcular uno de los ángulos y luego usar la suma de los ángulos de un triángulo (que es 180 grados) para hallar los otros dos ángulos.
Explicación paso a paso:
1. **Calculamos el ángulo entre los lados de 8 cm y 19 cm:**
Utilizamos la ley de cosenos, que establece que \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \), donde \( a = 8 \) cm, \( b = 19 \) cm, \( c = 7 \) cm (el lado opuesto al ángulo \( C \)).
\[
7^2 = 8^2 + 19^2 - 2 \cdot 8 \cdot 19 \cdot \cos(C)
\]
\[
49 = 64 + 361 - 304 \cos(C)
\]
\[
49 = 425 - 304 \cos(C)
\]
\[
304 \cos(C) = 376
\]
\[
\cos(C) = \frac{376}{304} = \frac{47}{38}
\]
\[
C = \arccos\left( \frac{47}{38} \right)
\]
Calculando \( C \):
\[
C \approx 34.86^\circ
\]
Ahora sabemos que uno de los ángulos del triángulo es \( 34.86^\circ \).
2. **Calculamos los otros dos ángulos:**
Para hallar los otros dos ángulos, podemos usar la suma de los ángulos de un triángulo, que es \( 180^\circ \).
\[
A + B + C = 180^\circ
\]
Supongamos que \( A \) y \( B \) son los otros dos ángulos.
\[
A + B = 180^\circ - C
\]
\[
A + B = 180^\circ - 34.86^\circ
\]
\[
A + B \approx 145.14^\circ
\]
Los ángulos \( A \) y \( B \) suman aproximadamente \( 145.14^\circ \).
Por lo tanto, los ángulos internos del triángulo con lados de 8 cm, 19 cm y 7 cm son aproximadamente \( 34.86^\circ \), \( 145.14^\circ \) y \( 180^\circ - 34.86^\circ - 145.14^\circ \), respectivamente.