Respuesta :
El punto extremo B tiene a -3 y a -7 como valores de ordenada (y), por lo tanto se obtienen los puntos extremos : B (2, -3) y B (2, -7) que satisfacen al ejercicio propuesto
Sabemos que la longitud del segmento rectilíneo AB es √13 y las coordenadas de uno de sus puntos extremos está dado por el punto o par ordenado A (-1,-5) y el otro extremo tiene de coordenadas B (2, y)
Luego debemos obtener el valor de la ordenada del punto extremo B sabiendo que el valor de la abscisa del otro extremo es 2
Empleamos la fórmula de la distancia entre dos puntos para determinar la coordenada desconocida
[tex]\large\boxed{ \bold { Distancia = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }[/tex]
Donde conocemos
[tex]\large \textsf{A (-1, -5)} \ \ \bold{(x_{1} , y_{1} ) }[/tex]
[tex]\large \textsf{B (2, y)} \ \ \ \ \bold{(x_{2} , y_{2} ) }[/tex]
[tex]\large \textsf{Distancia = Longitud Segmento AB = }\bold{ \sqrt{13} }[/tex]
Luego se tiene
[tex]\large\boxed{ \bold { Longitud \ Segmento\ \overline{AB} = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }[/tex]
[tex]\large \textsf{ Sustituimos los valores conocidos en la f\'ormula de la distancia}[/tex]
Donde debemos hallar la coordenada desconocida
[tex]\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { \sqrt{13} = \sqrt{(2-(-1) )^{2} +(y -(-5))^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { \sqrt{13} = \sqrt{(2+1)^{2} +(y+5 )^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { \sqrt{13} = \sqrt{(3 )^{2} + (y+5 )^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { \sqrt{13} = \sqrt{9 + (y+5 )^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { \sqrt{13} = \sqrt{9+y^{2}+10y+25 } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { \sqrt{13} = \sqrt{y^{2}+10y +34 } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold {\left( \sqrt{13} \right)^{2} =\left( \sqrt{y^{2}+10y +34 }\right )^{2} } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { 13 = y^{2}+10y+34 } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { y^{2}+10y+34 -13 = 0 } }[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold { y^{2}+10y+21 = 0 } }[/tex]
[tex]\large\textsf{Tenemos una ecuaci\'on de segundo grado}[/tex]
La cual resolvemos empleando la fórmula cuadrática
[tex]\large\textsf{F\'ormula cuadr\'atica}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{ \frac{ -b\pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a} }}[/tex]
[tex]\textsf {Sustituimos los valores de a = 1, b = 10 y c = 21 }[/tex]
[tex]\large\textsf{Resolvemos para y para hallar los valores de la coordenada desconocida }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{y = \frac{ -10 \pm \sqrt{ 10^2 - 4\cdot (1 \cdot 21) } }{2 \cdot 1} }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{y = \frac{ -10 \pm \sqrt{100- (4\cdot 21) } }{2 } }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{y = \frac{ -10 \pm \sqrt{100- 84 } }{2 } }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{y = \frac{ -10 \pm \sqrt{16 } }{2 } }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{y = \frac{ -10 \pm\sqrt{4^{2} } }{2 } }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{y = \frac{ -10 \pm 4 }{2 } }}[/tex]
[tex]\textsf{Simplificamos }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{y = -5\pm2 }}[/tex]
[tex]\large\textsf{La respuesta final es la combinaci\'on de ambas soluciones}[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold{y = -3 , -7 }}[/tex]
[tex]\large\textsf {Se toman los dos valores de y para la coordenada desconocida }[/tex]
Por tanto hay 2 valores para la ordenada del punto B que son ambas soluciones válidas
Teniendo
[tex]\large\boxed{ \bold{y_{2} = -3 \ \ \ \ y_{2} = -7 }}[/tex]
Por tanto se obtienen 2 soluciones para el punto extremo B
Obteniendo
[tex]\large \textsf{B (2, -3)}[/tex]
[tex]\large \textsf{B (2, -7)}[/tex]
Concluyendo que el punto extremo B tiene a -3 y a -7 como valores de ordenada por tanto se obtienen los puntos extremos B (2,-3) y B (2, -7) que satisfacen al ejercicio propuesto
Se agrega gráfico, donde se comprueba el resultado obtenido
