La altura del edificio es de aproximadamente 26.55 metros
Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
La altura del edificio junto con el suelo -donde este se asienta- forma un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC que equivale a una porción de la altura del edificio y llamamos a esa altura "x" la cual es una preincógnita, -siendo el cateto opuesto al ángulo dado-, el lado AB representa la línea visual desde el punto donde se encuentran los ojos del observador hasta la cima del edificio; el cual es visto con un ángulo de elevación de 54° y finalmente el lado AC que es una proyección del plano del suelo -donde esta distancia coincide con el punto desde donde se encuentra el observador hasta la base del edificio-
Donde se pide hallar la altura (h) del edificio
Luego debemos dividir a la altura h del edificio en dos partes: la altura "x", -la cual se encuentra por encima de los ojos del observador y del plano del suelo- de la cual desconocemos su magnitud y la longitud que coincide con la estatura del observador
La sumatoria de la altura "x" y la estatura del observador nos darán la altura h del edificio
Conocemos la distancia desde el observador hasta la base del edificio y de un ángulo de elevación de 54°
- Distancia del observador hasta la base del edificio = 18 metros
- Ángulo de elevación = 54°
- Debemos hallar la altura "x"
Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:
Como sabemos el valor del cateto adyacente al ángulo dado -que es la distancia horizontal desde el observador hasta la base del edificio- y conocemos un ángulo de elevación de 54° y debemos hallar la altura "x" -porción de la altura del edificio-, la cual es el cateto opuesto al ángulo dado del triángulo rectángulo determinamos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α
Hallamos la altura x -porción de la altura del edificio-
Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α [tex]\bold{ \alpha = 54^o }[/tex]
Planteamos:
[tex]\boxed { \bold { tan (54^o) = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { tan (54^o) = \frac{altura \ x }{ distancia \ al \ edificio } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {altura \ x = distancia \ al \ edificio\cdot tan (54^o) }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {altura \ x = 18\ m\cdot tan (54^o) }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { altura \ x = 18 \ m\cdot 1.376381920471 }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { altura \ x \approx 24.7748 \ m }}[/tex]
[tex]\textsf{Redondeando }[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold {altura \ x \approx 24.77 \ metros }}[/tex]
Por tanto la altura x -porción de la altura del edificio- es de aproximadamente 24.77 metros
Determinamos la altura h del edificio
[tex]\boxed { \bold { Altura \ del \ Edificio\ ( h)= altura \ x +estatura \ persona}}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {Altura \ del \ Edificio\ ( h) = 24.77 \ m + 1.78 \ m }}[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold { Altura \ del \ Edificio\ ( h) = 26.55 \ metros }}[/tex]
Luego la altura del edificio es de 26.55 metros
Se agrega gráfico para mejor comprensión del ejercicio propuesto
