Respuesta :
Explicación paso a paso:
Sabemos que:
[tex]csc (\alpha ) = \frac{1}{sin(\alpha )}[/tex]
Si sustituimos esta expresión en
[tex]csc (\alpha ) - sin (\alpha )[/tex] entonces:
[tex]csc (\alpha ) - sin (\alpha ) = \frac{1}{sin(\alpha )} - sin(\alpha )= \frac{1-sin^2(\alpha )}{sin(\alpha )} ... (1)[/tex]
Luego, de la identidad
[tex]sin^2(\alpha )+cos^2(\alpha )=1[/tex]
puedes despejar el coseno cuadrado y sustituir en (1)
[tex]cos^2(\alpha )=1-sin^2(\alpha )\\ \\ csc (\alpha ) - sin (\alpha ) =\frac{1-sin^2(\alpha )}{sin(\alpha )} = \frac{cos^2(\alpha) }{sin(\alpha )} = \frac{cos(\alpha )}{sin(\alpha ) } cos(\alpha )[/tex] ... (2)
Además sabes que
[tex]tan(\alpha ) = \frac{sin(\alpha )}{cos(\alpha )}[/tex] ⇒ [tex]cot(\alpha )=\frac{1}{tan(\alpha )}=\frac{1}{\frac{sin(\alpha )}{cos(\alpha )} } =\frac{cos(\alpha )}{sin(\alpha )}[/tex]
sustituyendo en (2)
[tex]csc (\alpha ) - sin (\alpha ) = cot(\alpha )cos(\alpha )\\[/tex]
Que es lo que querías probar.
saludos.