Respuesta :
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La relación de Pearson se utiliza para calcular el modo de una distribución a partir de la media y la mediana. Según esta relación, el modo (\( \text{Mo} \)) se puede aproximar usando la fórmula:
\[ \text{Mo} = 3 \cdot \text{Mediana} - 2 \cdot \text{Media} \]
Vamos a calcular la media, mediana, desviación media, varianza y desviación típica para la distribución dada \( D = \{3, 3, 4, 6, 7, 8, 9\} \).
### Media (\( \mu \)):
\[ \mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \]
### Mediana:
Para encontrar la mediana, ordenamos los datos (ya están ordenados) y encontramos el valor central.
### Modo (\( \text{Mo} \)):
Usaremos la relación de Pearson.
### Desviación media:
\[ \text{Desviación Media} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n |x_i - \mu| \]
### Varianza (\( \sigma^2 \)):
\[ \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 \]
### Desviación típica (\( \sigma \)):
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
Voy a proceder con los cálculos.
1. **Calcular la media (\( \mu \))**:
\[ \mu = \frac{3 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8 + 9}{7} = \frac{40}{7} \approx 5.71 \]
2. **Calcular la mediana**:
Para \( n = 7 \) (impar), la mediana es el cuarto valor (ya que \( (n+1)/2 = 4 \)):
\[ \text{Mediana} = 6 \]
3. **Calcular el modo utilizando la relación de Pearson**:
\[ \text{Mo} = 3 \cdot 6 - 2 \cdot 5.71 = 18 - 11.42 = 6.58 \]
4. **Calcular la desviación media**:
\[ \text{Desviación Media} = \frac{|3-5.71| + |3-5.71| + |4-5.71| + |6-5.71| + |7-5.71| + |8-5.71| + |9-5.71|}{7} \]
\[ \approx \frac{2.71 + 2.71 + 1.71 + 0.29 + 1.29 + 2.29 + 3.29}{7} \]
\[ \approx \frac{14.29}{7} \approx 2.04 \]
5. **Calcular la varianza (\( \sigma^2 \))**:
\[ \sigma^2 = \frac{(3-5.71)^2 + (3-5.71)^2 + (4-5.71)^2 + (6-5.71)^2 + (7-5.71)^2 + (8-5.71)^2 + (9-5.71)^2}{7} \]
\[ \approx \frac{7.34 + 7.34 + 2.93 + 0.08 + 1.66 + 5.29 + 10.85}{7} \]
\[ \approx \frac{35.49}{7} \approx 5.07 \]
6. **Calcular la desviación típica (\( \sigma \))**:
\[ \sigma = \sqrt{5.07} \approx 2.25 \]
### Resumen de resultados:
- Media (\( \mu \)): 5.71
- Mediana: 6
- Modo (\( \text{Mo} \)) aproximado utilizando la relación de Pearson: 6.58
- Desviación media: 2.04
- Varianza (\( \sigma^2 \)): 5.07
- Desviación típica (\( \sigma \)): 2.25