Respuesta :
Para hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gráficas de las ecuaciones \(y = \tan(x)\), \(y = 0\), \(x = 0\), y \(x = \frac{\pi}{4}\) alrededor del eje y, podemos utilizar el método del disco o el método del cascarón. En este caso, utilizaremos el método del disco.
1. Primero, identifiquemos el punto de intersección de las dos funciones:
\(y = \tan(x)\) y \(y = 0\)
Para encontrar la intersección, igualamos las dos ecuaciones:
\(\tan(x) = 0\)
Esto sucede cuando \(x = 0\).
Por lo tanto, la región acotada se encuentra entre \(x = 0\) y \(x = \frac{\pi}{4}\).
2. Ahora, expresamos la ecuación en función de \(x\) ya que estamos girando alrededor del eje y:
\(y = \tan(x)\) se convierte en \(x = \tan(y)\)
3. Luego, calculamos el radio de cada disco en función de \(y\):
El radio es la distancia desde el eje de rotación (eje y) hasta la curva \(x = \tan(y)\), que es simplemente \(r = \tan(y)\).
4. Ahora, determinamos los límites de integración para \(y\):
Como la región acotada va desde \(y = 0\) hasta el valor donde \(x = \frac{\pi}{4}\), debemos encontrar en qué valor de \(y\) esto sucede.
\(\frac{\pi}{4} = \tan(y)\)
\(y = \arctan(\frac{\pi}{4})\)
Entonces, el volumen se puede calcular como:
\[V = \pi \int_{0}^{\arctan(\frac{\pi}{4})} (\tan(y))^2 dy\]
1. Primero, identifiquemos el punto de intersección de las dos funciones:
\(y = \tan(x)\) y \(y = 0\)
Para encontrar la intersección, igualamos las dos ecuaciones:
\(\tan(x) = 0\)
Esto sucede cuando \(x = 0\).
Por lo tanto, la región acotada se encuentra entre \(x = 0\) y \(x = \frac{\pi}{4}\).
2. Ahora, expresamos la ecuación en función de \(x\) ya que estamos girando alrededor del eje y:
\(y = \tan(x)\) se convierte en \(x = \tan(y)\)
3. Luego, calculamos el radio de cada disco en función de \(y\):
El radio es la distancia desde el eje de rotación (eje y) hasta la curva \(x = \tan(y)\), que es simplemente \(r = \tan(y)\).
4. Ahora, determinamos los límites de integración para \(y\):
Como la región acotada va desde \(y = 0\) hasta el valor donde \(x = \frac{\pi}{4}\), debemos encontrar en qué valor de \(y\) esto sucede.
\(\frac{\pi}{4} = \tan(y)\)
\(y = \arctan(\frac{\pi}{4})\)
Entonces, el volumen se puede calcular como:
\[V = \pi \int_{0}^{\arctan(\frac{\pi}{4})} (\tan(y))^2 dy\]