Respuesta
1. Relaciones Trigonométricas en un Triángulo Rectángulo:
- En un triángulo rectángulo, la tangente de un ángulo agudo se define como la razón entre el lado opuesto al ángulo y el lado adyacente al ángulo.
- La secante de un ángulo agudo se define como la razón entre la hipotenusa y el lado adyacente al ángulo.
2. Aplicando las Relaciones al Problema:
- Tenemos tan A + tan B = 12.
- Sabemos que tan A = a/c (lado opuesto a A / lado adyacente a A) y tan B = b/c (lado opuesto a B / lado adyacente a B).
- Por lo tanto, a/c + b/c = 12.
- Simplificando, a + b = 12c.
3. Usando el Teorema de Pitágoras:
- En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: a² + b² = c².
- Podemos usar esta relación para expresar c en términos de a y b: c² = a² + b².
- Sustituyendo a + b = 12c en la ecuación anterior: c² = (12c - b)² + b².
- Simplificando: c² = 144c² - 24bc + b² + b².
- Reordenando: 143c² - 24bc = 0.
- Factorizando: c(143c - 24b) = 0.
- Como c es la hipotenusa, no puede ser cero. Por lo tanto, 143c - 24b = 0.
- Despejando c: c = 24b/143.
4. Calculando E:
- E = 2sec A * sec B.
- Sabemos que sec A = c/b y sec B = c/a.
- Sustituyendo: E = 2(c/b) * (c/a) = 2c²/ab.
- Sustituyendo c = 24b/143: E = 2(24b/143)² / ab = 2 * 576b²/20449ab.
- Simplificando: E = 1152b / 20449a.
- Usando la relación a + b = 12c y c = 24b/143, podemos expresar E en términos de b: E = 1152b / (20449 * (12c - b)) = 1152b / (20449 * (12 * 24b/143 - b)).
- Simplificando: E = 1152b / (20449 * (192b/143 - b)) = 1152b / (20449 * (49b/143)).
- Finalmente: E = 143 / 49.
Por lo tanto, el valor de E es 143/49.
