Respuesta :
La ecuación de la recta L2 -paralela a L1- y que pasa por el punto P(4,-3) está dada por:
Expresada en la Forma Explícita:
[tex]\large\boxed {\bold { y =\frac{3}{2}x -9 }}[/tex]
Expresada en la Forma General:
[tex]\large\boxed {\bold {3x-2y -18= 0 }}[/tex]
Sea la recta L1:
[tex]\large\boxed {\bold { 6x-4y=1 }}[/tex]
Se solicita hallar una recta L2 -paralela a la dada- y que pase por el punto P(4,-3)
Reescribimos la ecuación en la forma pendiente punto de intercepción o pendiente ordenada al origen
También llamada forma principal o explícita
Que responde a la forma:
[tex]\large\boxed {\bold { y = mx +b }}[/tex]
Donde m es la pendiente y b la intersección en Y
[tex]\boxed {\bold { 6x-4y=1 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { 6x-4y-1=0 }}[/tex]
Resolvemos para y
[tex]\boxed {\bold { -4y=-6x+1 }}[/tex]
[tex]\textsf{Multiplicamos la ecuaci\'on por -1 }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { 4y=6x-1 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \frac{\not4y}{\not4} =\frac{6}{4}x -\frac{1}{4} }}[/tex]
[tex]\textsf{Simplificando }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y = \frac{3}{2} x -\frac{1}{4} }}[/tex]
Donde denotamos a la pendiente de la recta dada como [tex]\bold { m_{1} }[/tex]
Por tanto:
[tex]\large\boxed {\bold { m_{1} = \frac{3}{2} }}[/tex]
La pendiente de la recta dada L1 es igual a 3/2
Determinamos la pendiente de una recta paralela
Denotaremos a la pendiente de la recta paralela [tex]\bold { m_{2} }[/tex]
Para que las rectas sean paralelas basta con que tengan la misma pendiente
Luego:
[tex]\large\boxed{\bold {m_{2} = m_{1} }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { m_{2} = \frac{3}{2} }}[/tex]
Concluyendo que cualquier recta paralela a la dada - L1- debe tener la misma pendiente, luego la pendiente de cualquier recta paralela a L1 será m = 3/2
Hallamos la recta L2 -paralela a la recta L1- que pasa por el punto o par ordenado P(4,-3)
Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta paralela solicitada
Cuya forma está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}[/tex]
Donde x1 e y1 son las coordenadas de un punto cualesquiera conocido perteneciente a la recta y donde m es la pendiente. Como conocemos el punto P (4,-3) tomaremos x1 = 4 e y1 = -3
Dado que la recta debe ser paralela a la dada su pendiente m será igual a 3/2
[tex]\bold{m_{2} = \frac{3}{2} }[/tex]
Por tanto:
[tex]\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold { \frac{3}{2} } \\\large\textsf{y el punto dado } \bold { P\ (4,-3) }[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y - (-3) = \frac{3}{2} \cdot (x- (4)) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y+3 =\frac{3}{2} \cdot (x-4) }}[/tex]
Reescribimos la ecuación de la recta L2 -paralela a la dada L1- que pasa por el punto P(4,-3) en la forma pendiente punto de intercepción o pendiente ordenada al origen
También llamada forma principal o explícita
Que responde a la forma:
[tex]\large\boxed {\bold { y = mx +b }}[/tex]
Donde m es la pendiente y b la intersección en Y
[tex]\boxed {\bold { y+3 =\frac{3}{2} \cdot (x-4) }}[/tex]
Resolvemos para y
[tex]\boxed {\bold { y+3 =\frac{3}{2}x -\frac{12}{2} }}[/tex]
[tex]\textsf{Dividiendo }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y+3 =\frac{3}{2}x -6 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y =\frac{3}{2}x -6-3 }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y =\frac{3}{2}x -9 }}[/tex]
Habiendo hallado la recta L2 paralela a la dada -L1- y que pasa por el punto P(4,-3) en la forma explícita
Reescribimos la ecuación de la recta paralela solicitada en la forma general de la recta
También llamada forma implícita
Que responde a la forma:
[tex]\large\boxed {\bold { Ax +By + C = 0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y =\frac{3}{2}x -9 }}[/tex]
[tex]\textsf{Igualamos a cero }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \frac{3}{2}x -9-y=0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \frac{3}{2}x -y -9=0 }}[/tex]
Para obtener una ecuación general o implícita sin fracciones:
Multiplicamos la ecuación por 2
[tex]\boxed {\bold { \frac{3}{2} x\cdot 2 -y\cdot 2 -9 \cdot 2 = 0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \frac{3}{\not2} x\cdot\not 2 -y\cdot 2 -9 \cdot 2 = 0 }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Obteniendo }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {3x-2y -18= 0 }}[/tex]
Habiendo hallado la ecuación de la recta paralela solicitada en la forma general o implícita
Siendo las dos rectas paralelas
Se agrega gráfico solicitado como archivo adjunto
