Respuesta :
En la granja se tienen 8 vacas y 67 gallinas
Establecemos las ecuaciones que modelan la situación del problema
Llamamos variable "x" a la cantidad de vacas y variable "y" a la cantidad de gallinas
Donde sabemos que
El total de cabezas en la granja es de 75
Donde el total de patas es de 166
Teniendo una vaca 4 patas
Teniendo una gallina 2 patas
Estamos en condiciones de plantear un sistema de ecuaciones que satisfaga al problema
El sistema de ecuaciones:
Sumamos la cantidad de vacas y de gallinas para establecer la primera ecuación y la igualamos a la cantidad de cabezas en la granja
[tex]\large\boxed {\bold {x + y =75 }}[/tex] [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }[/tex]
Luego como una vaca tiene 4 patas y una gallina tiene 2 patas planteamos la segunda ecuación, y la igualamos a la cantidad de patas que hay en total en la granja
[tex]\large\boxed {\bold {4x+ 2y = 166}}[/tex] [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }[/tex]
Luego
Despejamos y en la primera ecuación
En
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {x + y = 75 }}[/tex]
Despejamos y
[tex]\large\boxed {\bold {y =75-x }}[/tex] [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3}[/tex]
Resolvemos el sistema de ecuaciones
Reemplazando
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {y =75-x }}[/tex]
[tex]\large\textsf {En Ecuaci\'on 2 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {4x+ 2y = 166}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {4x + 2\ (75-x) = 166 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {4x+ 150-2x =166 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {4x -2x + 150 =166 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {2x + 150 = 166 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {2x = 166 -150 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { 2x = 16 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x = \frac{16}{2} }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { x =8 }}[/tex]
Luego el número de vacas que se tienen en la granja es de 8
Hallamos la cantidad de gallinas
Reemplazando el valor hallado de x en
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {y =75-x }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {y =75 -8 }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {y =67 }}[/tex]
Por tanto la cantidad de gallinas que se tienen en la granja es de 67
Verificación
Reemplazamos los valores hallados para x e y en el sistema de ecuaciones
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {x + y =75 }}[/tex]
[tex]\bold {8 \ vacas + 67 \ gallinas = 75 \ cabezas }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {75 \ cabezas = 75 \ cabezas }}[/tex]
[tex]\textsf{Se cumple la igualdad }[/tex]
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {4x+ 2y = 166 }}[/tex]
[tex]\bold { 4 \ patas \cdot 8 \ vacas +2 \ patas \cdot 67 \ galinas = 166 \ patas}[/tex]
[tex]\bold {32 \ patas + 134 \ patas =166 \ patas }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {166 \ patas = 166 \ patas }}[/tex]
[tex]\textsf{Se cumple la igualdad }[/tex]
Para finalizar si este problema se hubiese resuelto de manera gráfica, se trazarían las rectas que componen el sistema de ecuaciones con dos incógnitas que modelan el problema. Encontrándose la solución al problema en el punto que las 2 rectas se intersecan
Se agrega la representación gráfica sólo a fines ilustrativos
