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## Ejercicio 1: Encontrar los valores de x para los que la pendiente de la recta tangente a la función f(x) = 1/3 x^3 + 1/2 x^2 es igual a la pendiente de la recta y = 2x - 1.
**Solución:**
**Paso 1: Calcular la pendiente de la función f(x)**
La pendiente de la recta tangente a una función en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.
Derivamos f(x) para obtener su expresión:
f'(x) = x^2 + x
**Paso 2: Igualar la pendiente de la función a la pendiente de la recta y = 2x - 1**
Sabemos que la pendiente de la recta tangente es igual a 2, por lo que podemos igualar las derivadas:
x^2 + x = 2
**Paso 3: Resolver la ecuación cuadrática**
Esta ecuación cuadrática se puede resolver usando la fórmula general:
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
Donde:
* a = 1
* b = 1
* c = -2
Sustituyendo los valores, obtenemos:
x = (-1 ± √(1^2 - 4 * 1 * -2)) / 2 * 1
x = (-1 ± √9) / 2
x = (-1 ± 3) / 2
**Paso 4: Encontrar las soluciones**
Las dos soluciones posibles para x son:
* x = 1
* x = -2
**Paso 5: Comprobar las soluciones**
Sustituimos cada valor de x en la función f(x) para verificar si efectivamente la pendiente de la recta tangente en ese punto es 2:
* Para x = 1:
f'(1) = 1^2 + 1 = 2 (**Correcta**)
* Para x = -2:
f'(-2) = (-2)^2 - 2 = 2 (**Correcta**)
**Conclusión:**
Los valores de x para los que la pendiente de la recta tangente a la función f(x) = 1/3 x^3 + 1/2 x^2 es igual a la pendiente de la recta y = 2x - 1 son **x = 1** y **x = -2**.
**Razonamiento adicional:**
La gráfica de la función f(x) = 1/3 x^3 + 1/2 x^2 es una curva, mientras que la recta y = 2x - 1 es una línea recta. En los puntos donde la pendiente de la curva es igual a la pendiente de la recta, la curva y la recta se "tocan" en un punto llamado **punto de tangencia**. Las soluciones de la ecuación cuadrática representan los valores de x en los que la curva y la recta tienen la misma pendiente, es decir, los puntos de tangencia.
**Nota:**
Es importante verificar que las soluciones obtenidas efectivamente pertenecen al dominio de la función f(x). En este caso, la función f(x) está definida para todos los valores reales de x, por lo que las soluciones x = 1 y x = -2 son válidas.