Respuesta:
Para resolver este problema, primero calcularemos la altura máxima alcanzada por el balón y luego determinaremos si puede caer en la canasta.
### Paso 1: Calcular la Altura Máxima
Dados:
- Velocidad inicial \( v_0 = 35 \) m/s
- Ángulo de lanzamiento \( \theta = 50^\circ \)
- Aceleración debido a la gravedad \( g = 9.81 \) m/s²
La altura máxima \( H \) alcanzada por el balón se puede calcular utilizando la fórmula para el alcance vertical máximo de un proyectil lanzado:
\[ H = \frac{v_0^2 \sin^2(\theta)}{2g} \]
Sustituimos los valores:
\[ H = \frac{(35)^2 \sin^2(50^\circ)}{2 \cdot 9.81} \]
Calculamos \( \sin(50^\circ) \):
\[ \sin(50^\circ) \approx 0.7660 \]
Ahora calculamos \( H \):
\[ H = \frac{(1225) \cdot (0.7660)^2}{19.62} \]
\[ H = \frac{1225 \cdot 0.5868}{19.62} \]
\[ H = \frac{719.76}{19.62} \]
\[ H \approx 36.68 \text{ m} \]
Por lo tanto, la altura máxima que alcanza el balón es aproximadamente \( 36.68 \) metros.
### Paso 2: Determinar si el Balón puede Caer en la Canasta
La canasta está situada a una distancia horizontal \( d = 5 \) metros del jugador y tiene una altura \( h_c = 3 \) metros. Para determinar si el balón puede caer en la canasta, calculamos el alcance horizontal \( R \) del proyectil:
\[ R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} \]
Calculamos \( \sin(100^\circ) \):
\[ \sin(100^\circ) = \sin(180^\circ - 80^\circ) = \sin(80^\circ) \approx \sin
