Respuesta:
El conjunto (S = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}) consta de tres vectores en (\mathbb{R}^3).
Para determinar si (S) es un conjunto generador, verificamos si cualquier vector en (\mathbb{R}^3) puede expresarse como una combinación lineal de los vectores en (S).
Cada vector en (\mathbb{R}^3) se puede escribir como (v = \lambda_1(1,0,0) + \lambda_2(0,1,0) + \lambda_3(0,0,1)), donde (\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) son escalares.
Dado que podemos expresar cualquier vector en (\mathbb{R}^3) de esta manera, concluimos que (S) es un conjunto generador.
Ahora, veamos si (S) también es linealmente independiente:
Un conjunto de vectores es linealmente independiente si la única combinación lineal que da como resultado el vector nulo ((0,0,0)) es aquella en la que todos los coeficientes son cero.
Consideremos la ecuación (\lambda_1(1,0,0) + \lambda_2(0,1,0) + \lambda_3(0,0,1) = (0,0,0)).
Resolvemos el sistema de ecuaciones resultante:
(\lambda_1 = 0)
(\lambda_2 = 0)
(\lambda_3 = 0)
Como la única solución es (\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0), concluimos que (S) es linealmente independiente.
Explicación paso a paso: