Respuesta:
Para resolver este problema, primero vamos a representar gráficamente los desplazamientos de Pedro utilizando el método del polígono. Luego determinaremos el vector resultante sumando estos desplazamientos y calcularemos su módulo y dirección.
### Representación gráfica de los desplazamientos
1. **Primer desplazamiento (100 km hacia el sur):**
- Representamos esto moviéndonos hacia abajo en un plano cartesiano. Esto se traduce en un vector con coordenadas (0, -100).
2. **Segundo desplazamiento (200 km al oeste):**
- Movemos hacia la izquierda desde el punto final del primer desplazamiento. Esto se traduce en un vector con coordenadas (-200, 0).
3. **Tercer desplazamiento (300 km hacia el norte):**
- Movemos hacia arriba desde el punto final del segundo desplazamiento. Esto se traduce en un vector con coordenadas (0, 300).
### Método del polígono
Para encontrar el vector resultante, simplemente sumamos estos vectores componente por componente:
\[ \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C} \]
Donde:
- \(\vec{A} = (0, -100)\) es el vector del primer desplazamiento.
- \(\vec{B} = (-200, 0)\) es el vector del segundo desplazamiento.
- \(\vec{C} = (0, 300)\) es el vector del tercer desplazamiento.
Sumando componentes:
\[ \vec{R} = (0 - 200 + 0, -100 + 0 + 300) = (-200, 200) \]
### Módulo y dirección del vector resultante
1. **Módulo del vector resultante (\(|\vec{R}|\)):**
El módulo se calcula utilizando el teorema de Pitágoras, dado que tenemos las componentes del vector:
\[ |\vec{R}| = \sqrt{(-200)^2 + 200^2} \]
\[ |\vec{R}| = \sqrt{40000 + 40000} \]
\[ |\vec{R}| = \sqrt{80000} \]
\[ |\vec{R}| = 200 \sqrt{2} \]
\[ |\vec{R}| \approx 282.84 \ \text{km} \]
2. **Dirección del vector resultante:**
La dirección se obtiene calculando el ángulo respecto al eje positivo de las \(x\):
\[ \theta = \tan^{-1} \left( \frac{200}{200} \right) \]
\[ \theta = \tan^{-1}(1) \]
\[ \theta = 45^\circ \]
Entonces, la dirección del vector resultante es \( 45^\circ \) respecto al eje positivo de las \(x\) (o hacia el noreste).
### Conclusión
El vector resultante del movimiento de Pedro, al sumar sus tres desplazamientos, tiene un módulo de aproximadamente \( 282.84 \) km y una dirección de \( 45^\circ \) (hacia el noreste).
