Respuesta:
Para resolver este problema, utilizamos la trigonometría, específicamente la tangente del ángulo de elevación. La tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la relación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
Explicación paso a paso:
Dados:
- El ángulo de elevación \(\theta = 67^\circ\)
- La distancia desde el punto de observación a la base de la catedral \(d = 12 \, \text{m}\)
Queremos encontrar la altura \(h\) de la catedral.
La relación trigonométrica de la tangente es:
\[ \tan(\theta) = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}} \]
Sustituimos los valores conocidos:
\[ \tan(67^\circ) = \frac{h}{12} \]
Despejamos \(h\):
\[ h = 12 \cdot \tan(67^\circ) \]
Usamos una calculadora para encontrar \(\tan(67^\circ)\):
\[ \tan(67^\circ) \approx 2.355 \]
Entonces:
\[ h = 12 \cdot 2.355 \]
\[ h \approx 28.26 \, \text{m} \]
Por lo tanto, la altura de la catedral es aproximadamente 28.26 metros.