Supongo que 30" = 30ⁿ; 15,18" = 15 × 18ⁿ.
Primero debemos factorizar los números.
Empezamos con N,
- N = 30ⁿ ------ 30 = 2 × 3 × 5
- N = 2ⁿ × 3ⁿ × 5ⁿ
Ahora con M,
- M = 15 × 18ⁿ ------ 15 = 3 × 5, 18 = 2 × 3²
- M = 3 × 5 × 2ⁿ × 3²ⁿ
- M = 2ⁿ × 3²ⁿ⁺¹ × 5
Ahora hallamos el número de divisores para cada número.
Empezamos con el número N,
Entonces...
- D = (n + 1)(n + 1)(n + 1)
- D = (n + 1)³
Ahora con el número M,
Entonces...
- D' = (n + 1)(2n + 2)(1 + 1)
- D' = 2(n + 1)(2n + 2)
Por último, podemos plantear una ecuación dado que Queremos que el número de divisores de N sea el doble del número de divisores de M,
- (n + 1)³ = 2 × 2(n + 1)(2n + 2)
- (n + 1)³ - 2 × 2(n + 1)(2n + 2) = 0
- (n + 1)((n + 1)² - 2 × 2(2n + 2)) = 0
- (n + 1)((n + 1)² - 4(2n + 2)) = 0
- (n + 1)((n + 1)² - 8n - 8) = 0
Ahora dividimos dos casos posibles...
- n + 1 = 0
- (n + 1)² - 8n - 8 = 0
Resolvemos...
- n = -1
- (n + 1)² - 8n - 8 = 0
Resolvemos la segunda ecuación...
- (n + 1)² - 8n - 8 = 0
- (n + 1)² - 8(n + 1) = 0
- (n + 1) × (n + 1 - 8) = 0
- (n + 1)(n - 7) = 0
Dividimos en dos casos posibles,
Resolvemos para n,
Entonces hemos obtenido...
- n = -1 (dos veces) ---- Es negativo (no válido)
- n = 7------- Opción C.
R: El valor de n para que el número de divisores de N = 30ⁿ sea el doble del número de divisores de M = 15 × 18ⁿ es 7.
