Respuesta:
La altura del árbol es aproximadamente \( \boxed{28.07} \) pies.
Este cálculo muestra cómo usar trigonometría para encontrar la altura de un objeto, en este caso, un árbol, dados los ángulos de elevación y la longitud de su sombra proyectada
Explicación paso a paso:
Para resolver este problema, vamos a utilizar trigonometría considerando los ángulos y la longitud de la sombra del árbol.
1. **Datos dados:**
- El árbol está en la parte alta de un camino que forma un ángulo de 17º con la horizontal.
- Una persona que camina hacia arriba por el camino observa el Sol por detrás del árbol con un ángulo de elevación de 38º.
- La longitud de la sombra del árbol es de 36 pies.
2. **Identificación de los ángulos y lados:**
- \( \theta \): Ángulo de elevación desde la persona hacia la copa del árbol, que es de 38º.
- \( \alpha \): Ángulo de inclinación del camino, que es de 17º.
- \( h \): Altura del árbol, que queremos encontrar.
- \( s \): Longitud de la sombra del árbol, que es de 36 pies.
3. **Diagrama y relaciones trigonométricas:**
Dado que la persona ve el Sol justo por detrás del árbol, podemos establecer la siguiente relación trigonométrica:
\[
\tan(\theta) = \frac{h}{s}
\]
donde \( \theta = 38^\circ \), \( s = 36 \) pies y \( h \) es desconocido.
4. **Resolver para \( h \):**
Primero, calculamos \( \tan(38^\circ) \):
\[
\tan(38^\circ) \approx 0.7813
\]
Ahora, sustituimos los valores conocidos en la ecuación trigonométrica:
\[
0.7813 = \frac{h}{36}
\]
Para despejar \( h \), multiplicamos ambos lados por 36:
\[
h = 0.7813 \times 36
\]
\[
h \approx 28.07 \text{ pies}
\]
5. **Respuesta:**
La altura del árbol es aproximadamente \( \boxed{28.07} \) pies.
Este cálculo muestra cómo usar trigonometría para encontrar la altura de un objeto, en este caso, un árbol, dados los ángulos de elevación y la longitud de su sombra proyectada.
