Para encontrar el máximo valor de la función ( f(x) = -x + 6x^2 ) en el intervalo ( x \in [-1, 1] ), seguimos estos pasos:
1. Encontrar la derivada de ( f(x) ) para identificar los puntos críticos donde el máximo podría ocurrir:
f{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(-x + 6x^2) = -1 + 12x
2. Resolver la ecuación ( f’(x) = 0 ) para encontrar los puntos
Para encontrar el máximo valor de la función \( f(x) = -x + 6x^2 \) en el intervalo \( x \in [-1, 1] \), seguimos estos pasos:
1. **Encontrar la derivada de \( f(x) \)** para identificar los puntos críticos donde el máximo podría ocurrir:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(-x + 6x^2) = -1 + 12x
\]
2. **Resolver la ecuación \( f'(x) = 0 \)** para encontrar los puntos críticos:
\[
-1 + 12x = 0 \\
12x = 1 \\
x = \frac{1}{12}
\]
El punto crítico \( x = \frac{1}{12} \) está dentro del intervalo \( [-1, 1] \), por lo que es relevante para nuestro análisis.
3. **Evaluar \( f(x) \) en los extremos del intervalo y en el punto crítico \( x = \frac{1}{12} \)**:
- En \( x = -1 \):
\[
f(-1) = -(-1) + 6(-1)^2 = 1 + 6 = 7
\]
- En \( x = 1 \):
\[
f(1) = -(1) + 6(1)^2 = -1 + 6 = 5
\]
- En \( x = \frac{1}{12} \):
\[
f\left(\frac{1}{12}\right) = -\left(\frac{1}{12}\right) + 6\left(\frac{1}{12}\right)^2 \\
= -\frac{1}{12} + 6\cdot\frac{1}{144} \\
= -\frac{1}{12} + \frac{1}{24} \\
= -\frac{2}{24} + \frac{1}{24} \\
= -\frac{1}{24}
\]
4. **Determinar el máximo valor de \( f(x) \)** comparando los valores obtenidos:
- \( f(-1) = 7 \)
- \( f(1) = 5 \)
- \( f\left(\frac{1}{12}\right) = -\frac{1}{24} \)
El máximo valor de \( f(x) \) en el intervalo \( x \in [-1, 1] \) es \( 7 \), que se alcanza en \( x = -1 \).
Por lo tanto, el máximo valor de \( f(x) = -x + 6x^2 \) en el intervalo \( x \in [-1, 1] \) es \( \boxed{7} \).
