Para resolver este problema, definimos:
- \( x \): cantidad de lapiceros
- \( y \): cantidad de lápices
Las ecuaciones basadas en los precios y el presupuesto son:
\[ 8x + 5y = 96 \]
\[ x, y \geq 0 \]
Queremos maximizar \( x + y \), es decir, obtener la mayor cantidad posible de lapiceros y lápices con un gasto total de exactamente 96 soles.
Vamos a resolver el sistema de ecuaciones:
1. **Resolver para \( y \) en términos de \( x \):**
\[ 5y = 96 - 8x \]
\[ y = \frac{96 - 8x}{5} \]
2. **Restricción de enteros:**
\( y \) debe ser un número entero, por lo tanto, \( 96 - 8x \) debe ser divisible por 5.
3. **Prueba de valores para \( x \):**
Probamos valores enteros de \( x \) para encontrar el máximo valor de \( x + y \):
- Para \( x = 0 \):
\[ y = \frac{96 - 8 \cdot 0}{5} = \frac{96}{5} = 19.2 \] (no es entero)
- Para \( x = 1 \):
\[ y = \frac{96 - 8 \cdot 1}{5} = \frac{88}{5} = 17.6 \] (no es entero)
- Para \( x = 2 \):
\[ y = \frac{96 - 8 \cdot 2}{5} = \frac{80}{5} = 16 \] (es entero)
Entonces, \( x = 2 \) y \( y = 16 \).
4. **Verificación:**
\[ x + y = 2 + 16 = 18 \]
\[ 8x + 5y = 8 \cdot 2 + 5 \cdot 16 = 16 + 80 = 96 \]
Ambas condiciones se cumplen. Por lo tanto, la mayor cantidad de lapiceros y lápices que se pueden comprar gastando exactamente 96 soles es \( \boxed{18} \) unidades (2 lapiceros y 16 lápices).
