Para resolver un sistema de ecuaciones lineales usando el método de Cramer, primero debemos expresar el sistema en la forma de matrices y luego aplicar la fórmula del determinante.
El sistema de ecuaciones que nos diste es:
{
3
+
=
1
5
−
=
7
{
3x+y=1
5x−y=7
Primero, representamos este sistema en forma matricial
=
AX=B:
=
(
3
1
5
−
1
)
,
=
(
)
,
=
(
1
7
)
A=(
3
5
1
−1
),X=(
x
y
),B=(
1
7
)
El determinante de la matriz
A, denotado como
Δ
Δ, es:
Δ
=
∣
3
1
5
−
1
∣
=
(
3
)
(
−
1
)
−
(
1
)
(
5
)
=
−
3
−
5
=
−
8
Δ=
3
5
1
−1
=(3)(−1)−(1)(5)=−3−5=−8
Ahora calculamos
Δ
Δ
x
y
Δ
Δ
y
, que son los determinantes de las matrices obtenidas al reemplazar las columnas de
A con el vector
B.
Para
Δ
Δ
x
, reemplazamos la primera columna de
A con
B:
=
(
1
1
7
−
1
)
A
x
=(
1
7
1
−1
)
Δ
=
∣
1
1
7
−
1
∣
=
(
1
)
(
−
1
)
−
(
1
)
(
7
)
=
−
1
−
7
=
−
8
Δ
x
=
1
7
1
−1
=(1)(−1)−(1)(7)=−1−7=−8
Para
Δ
Δ
y
, reemplazamos la segunda columna de
A con
B:
=
(
3
1
5
7
)
A
y
=(
3
5
1
7
)
Δ
=
∣
3
1
5
7
∣
=
(
3
)
(
7
)
−
(
1
)
(
5
)
=
21
−
5
=
16
Δ
y
=
3
5
1
7
=(3)(7)−(1)(5)=21−5=16
Finalmente, las soluciones para
x y
y son:
=
Δ
Δ
=
−
8
−
8
=
1
x=
Δ
Δ
x
=
−8
−8
=1
=
Δ
Δ
=
16
−
8
=
−
2
y=
Δ
Δ
y
=
−8
16
=−2
Entonces, la solución del sistema es
=
1
x=1 y
=
−
2
y=−2.