Respuesta :
Las distancias desde las estaciones A y C hasta el barco son de aproximadamente 63.92 kilómetros y de 37.37 kilómetros respectivamente
Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.
Donde para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-
Teorema del Seno:
El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.
Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,
Entonces se cumple la relación:
[tex]\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}[/tex]
Representamos la situación en un triángulo ABC: el cual está conformado por el lado AC (b) que representa la distancia entre las dos estaciones de radio A y C- donde la estación de radio A se ubica en el vértice A y la estación de radio C en el vértice C- y los lados AB (c) y BC (a) que equivalen a las dos distancias desde la estación de radio A y desde la estación de radio C respectivamente hasta donde se encuentra el barco, -en el vértice o punto B-. Donde la estación de radio A avista al barco -ubicado en B- con un ángulo de 32° y la estación de radio C visualiza el mismo punto con un ángulo de 65°
Ver gráfico adjunto
En donde se pide calcular:
La distancias desde cada una de las dos estaciones A y C hasta donde se encuentra el barco
Denotamos a los ángulos dados por enunciado de avistamiento hacia el barco: de 32° -para la estación A - y de 65° -para la estación C- como α y γ respectivamente
Hallamos el valor del tercer ángulo B -donde se encuentra el barco - al cual denotamos como β
Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°:
Planteamos:
[tex]\boxed {\bold { 180^o = 32^o+ 65^o+ \beta }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\beta = 180^o -32^o- 65^o }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {\beta = 83^o }}[/tex]
El valor del ángulo B (β) es de 83°- el cual es el ángulo comprendido por las dos distancias respectivas desde las estaciones A y C hasta el barco -
Determinamos la distancia entre la estación A y el barco:
Hallando el valor del lado c (lado AB) -distancia desde la estación A hasta el barco-
[tex]\large\boxed { \bold { \frac{b}{ sen( \beta ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(B ) } = \frac{c}{sen(C)} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{70\ km}{ sen (83^o ) } = \frac{ c }{sen(65^o) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { c = \frac{ 70 \ km \cdot sen(65^o ) }{\ sen(83^o) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { c = \frac{ 70 \ km \cdot 0.906307787037 }{0.992546151641} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { c = \frac{ 63.44154509259 }{ 0.992546151641 }\ km}}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { c \approx63.91798 \ km }}[/tex]
[tex]\textsf{Redondeando }[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold { c \approx\ 63.92 \ km }}[/tex]
La distancia desde la estación A hasta el barco es de aproximadamente 63.92 kilómetros
Calculamos la distancia entre la estación B y el barco:
Hallando el valor del lado a (lado BC) -distancia desde la estación B hasta el barco-
[tex]\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{b}{sen(\beta )} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{b}{sen(B)} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{a}{ sen (32^o ) } = \frac{ 70 \ km }{sen(83^o) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { a = \frac{ 70\ km \cdot sen(32^o ) }{\ sen(83^o) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { a = \frac{ 70 \ km \cdot 0.529919264233 }{ 0.992546151641 } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { a = \frac{ 37.09434849631 }{ 0.992546151641 }\ km}}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { a \approx 37.37292 \ km }}[/tex]
[tex]\textsf{Redondeando }[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold { a \approx 37.37 \ km }}[/tex]
La distancia desde la estación C hasta el barco es de aproximadamente 37.37 kilómetros
Se adjunta gráfico a escala para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteados, donde se comprueba el resultado obtenido
