Respuesta :
Respuesta:
El área que se desea destinar para el cultivo de rosas es aproximadamente \(2090.84\,m^2\).
Explicación paso a paso:
Para calcular el área que se desea destinar para el cultivo de rosas en el jardín circular, podemos seguir estos pasos:
1. **Calcular el área del sector circular del jardín completo:**
- El jardín tiene un radio de 70 metros.
- El ángulo central del sector es de 60°.
- El área de un sector circular es proporcional al ángulo del sector respecto a los 360° completos de un círculo.
Fórmula para el área de un sector circular:
\[
\text{Área del sector} = \frac{\theta}{360°} \times \pi \times r^2
\]
donde \(\theta\) es el ángulo del sector en grados y \(r\) es el radio del círculo.
Sustituyendo los valores dados:
\[
\text{Área del sector del jardín completo} = \frac{60°}{360°} \times \pi \times (70\,m)^2
\]
\[
\text{Área del sector del jardín completo} = \frac{1}{6} \times \pi \times 4900\,m^2
\]
\[
\text{Área del sector del jardín completo} = \frac{4900\pi}{6}\,m^2 \approx 2560.63\,m^2
\]
2. **Calcular el área del sector circular de la fuente:**
- La fuente tiene un radio de 30 metros.
- El ángulo central del sector es el mismo, 60°.
Usamos la misma fórmula para el área de un sector circular:
\[
\text{Área del sector de la fuente} = \frac{60°}{360°} \times \pi \times (30\,m)^2
\]
\[
\text{Área del sector de la fuente} = \frac{1}{6} \times \pi \times 900\,m^2
\]
\[
\text{Área del sector de la fuente} = \frac{900\pi}{6}\,m^2 \approx 471.24\,m^2
\]
3. **Calcular el área destinada al cultivo de rosas:**
- El área destinada al cultivo de rosas es el área del sector del jardín completo menos el área del sector de la fuente.
\[
\text{Área destinada al cultivo de rosas} = \text{Área del sector del jardín completo} - \text{Área del sector de la fuente}
\]
\[
\text{Área destinada al cultivo de rosas} = \frac{4900\pi}{6}\,m^2 - \frac{900\pi}{6}\,m^2
\]
\[
\text{Área destinada al cultivo de rosas} = \frac{4000\pi}{6}\,m^2
\]
\[
\text{Área destinada al cultivo de rosas} = \frac{2000\pi}{3}\,m^2 \approx 2090.84\,m^2
\]