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Para encontrar la ecuación de la función cuadrática h(x) con las características dadas, podemos utilizar la forma general de la ecuación cuadrática: h(x) = a(x - h)^2 + k, donde (h, k) es el vértice de la parábola y "a" es un coeficiente que determina si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.
Dado que las raíces son x1 = -1 y x2 = 1, podemos expresar la función en forma factorizada como: h(x) = a(x + 1)(x - 1).
Utilizando el vértice (0, 2), podemos encontrar el valor de "a":
h(0) = a(0 + 1)(0 - 1) = a(1)(-1) = -a
Como h(0) = 2 (porque el vértice es (0, 2)), entonces:
- a = 2
Por lo tanto, la función cuadrática h(x) es: h(x) = 2(x + 1)(x - 1).
Para encontrar la imagen de la función, evaluamos h(x) en x = 2:
h(2) = 2(2 + 1)(2 - 1)
h(2) = 2(3)(1)
h(2) = 6
Por lo tanto, la imagen de la función en x = 2 es **6**.
Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función, recordamos que una parábola que se abre hacia arriba tiene un intervalo de crecimiento en todos los puntos y un intervalo de decrecimiento en su vértice.
En este caso, como la parábola tiene su vértice en (0, 2), sabemos que tiene un punto mínimo y por lo tanto crece a medida que nos alejamos del vértice. Por lo tanto, los intervalos de crecimiento son (-∞, 0) y (0, ∞), mientras que el intervalo de decrecimiento es vacío.