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Para modelar el crecimiento poblacional utilizando funciones exponenciales en la práctica, se necesitan datos iniciales como la población inicial 0P 0 , la tasa de crecimiento , y en el caso del modelo logístico, la capacidad de carga . Estos modelos son útiles para prever tendencias poblacionales a corto y mediano plazo, así como para entender cómo los recursos limitados pueden influir en el crecimiento sostenible de la población.
Explicación paso a paso:
1. Modelo de Crecimiento Exponencial
En el modelo de crecimiento exponencial, la tasa de cambio de la población en relación con el tiempo es proporcional a la población actual. Esto se expresa con la ecuación diferencial:
=dtdP
=kP
Donde:
()P(t) es la población en función del tiempo
t.dtdP es la tasa de cambio de la población respecto al tiempo.
k es la constante de proporcionalidad positiva, que representa la tasa de crecimiento per cápita.
La solución general de esta ecuación diferencial es:
()=0P(t)=P0 e kt
Donde:
0P 0
es la población inicial en el momento
=0
t=0.
e es la base del logaritmo natural (aproximadamente
2.71828
2.71828).
2. Modelo de Crecimiento Exponencial Limitado o con Límite
En situaciones donde el crecimiento poblacional no puede continuar de manera indefinida debido a limitaciones ambientales, se utiliza un modelo con límite. Un ejemplo común es el modelo logístico, que tiene la forma:
=(1−)dtdP =kP(1−
MP )
Donde
M es la capacidad de carga del entorno, es decir, la población máxima que el entorno puede soportar sosteniblemente.
La solución de esta ecuación diferencial es:
()=1+−
P(t)= 1+Ae −kt M
Donde
A es una constante que depende de las condiciones iniciales.