Son progresiones cuadráticas y obtener el patrón, regla o término general es algo lioso.
Este tipo de progresiones se caracterizan por tener una diferencia variable entre términos consecutivos.
Las cantidades correspondientes a esa diferencia forman por sí mismas otra progresión que es del tipo aritmética, es decir, que entre dos términos consecutivos hay una diferencia invariable.
Te haré la b) cuyo primer término es negativo y la tomas como modelo para la a) y para otras que te puedan poner como ejercicios.
La montaremos separando términos para verla claramente:
- Orden de términos: 1º 2º 3º 4º
- Progresión: C = -4 -1 4 11
- 1ª diferencia: B = +3 +5 +7
- 2ª diferencia: A = +2 +2
La primera diferencia es la que se calcula entre términos consecutivos de la progresión original y no es fija sino que va aumentando: 3, 5, 7 ...
La segunda diferencia es la que se calcula sobre la primera diferencia y es aritmética porque aumenta de 2 en 2.
Así tenemos una progresión dentro de otra progresión.
Damos nombre de letras a los números resaltados en negrita tal y como puedes ver:
El término general se calcula a partir del trinomio que se forma en una ecuación cuadrática que dice:
aₙ = ax² + bx + c
Y usaremos una fórmula, que hay que memorizar ---porque nos valdrá para resolver cualquier progresión de este tipo---, para obtener el término general a partir del cual sabremos el valor de cualquier término de la progresión con solo conocer el nº de orden "n" que ocupe en ella.
La fórmula dice:
[tex]\centering\\ {\Large{a_n=\dfrac{A}{2} \times n^2\ + (B-\dfrac{3}{2} \times A)\times n+(A-B+C)[/tex]
Sustituyo A, B, C, por los valores indicados arriba y resuelvo:
[tex]\centering\\ {\Large{a_n=\dfrac{2}{2} \times n^2\ + (3-\dfrac{3}{2} \times 2)\times n+[2-3+(-4)]\\ \\ a_n=1n^2+0n-5\\ \\ \bold{a_n=n^2-5}[/tex]
Este es el patrón, regla o término general de esa progresión/sucesión.
Ahora queda sustituir "n" por los valores de las posiciones (7, 13 y 50)
Para n=7 ... a₇ = 7² - 5 = 49 - 5 = 44
Para n=13 ... a₁₃ = 13² - 5 = 169 - 5 = 164
Para n=50 ... a₅₀ = 50² - 5 = 2500 - 5 = 2495
Con eso queda resuelto el ejercicio. Úsalo para hacer el a)
(Te pasaré ahí abajo una captura de la parte donde he usado lenguaje LaTeX por si no visualizaras bien las operaciones, cosa que suele ocurrir cuando usas la app y no la página web)
