35. Un niño observa desde una altura de 1 m las partes superiores de un pino y una palmera, ambas perpendiculares
al suelo. Si el niño dista 2 m y 6 m del pino y la palmera respectivamente, halle la altura de la palmera (pino, niño y
palmera son colineales).
A) 7 m
B) 6 m
C) 3 m
D) 4 m
E) 5 m
36. Se quiere construir un jardín con forma de corona circular cuyos radios mayor y menor miden 7 m y 5 m. Dentro de
la corona hay tres pozos circulares tangentes y vacíos, como muestra la figura. Halle el área del jardín cubierto por
césped.
A) 21π m2
B) 22π m2
C) 19π m2
D) 25π m2
E) 20π m2
37. En un triángulo rectángulo. Calcular la medida de la hipotenusa, si los exradios relativos a los catetos miden 2 cm y 3 cm.
A) 3 cm B) 4 cm C) 5 cm D) 6 cm E) 7 cm

Altura de la palmera: El niño está a 6 metros de la palmera. La altura total de la palmera es la suma de la altura del niño y la altura de la palmera = 6 + 1 = 7 ,

Por lo tanto, la altura de la palmera es 7 metros. La respuesta correcta es la opción A

Área de la corona circular: Utilizaremos la fórmula del área de una corona circular: [ \text{Área de la corona circular} = \pi R^2 - \pi r^2 ] Donde:

(R) es el radio mayor (7 m).

(r) es el radio menor (5 m).

Sustituyendo los valores: = \pi \cdot 7^2 - \pi \cdot 5^2 = 49\pi - 25\pi = 24

Área de los tres pozos circulares: Cada pozo tiene forma circular, y como son tangentes y vacíos, no ocupan área. Por lo tanto, el área total de los tres pozos es (0).

Área del jardín cubierto por césped: Restamos el área de los pozos al área de la corona: = 24\pi - 0 = 24\pi ]

Por lo tanto, el área del jardín cubierto por césped es 24π m². La respuesta correcta es la opción E

Teorema del cateto:

El teorema establece que: [ a \cdot b = c \cdot n ] Donde:

(a) y (b) son los catetos.

(c) es la hipotenusa.

(n) es la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa.

Resolución:

Dado que conocemos las proyecciones de los catetos ((n = 2 , \}) y (m = 3 , cm}), podemos usar el teorema del cateto: [ a \cdot b = c \cdot n ] [ a \cdot (a + 3) = c \cdot 2 ] [ a^2 + 3a = 2c ]

También sabemos que: [ a^2 + b^2 = c^2 ]

Sustituyendo (a^2 + 3a) por (c^2): [ c^2 + 3a = 2c ] [ c^2 - 2c + 3a = 0 ]

Resolviendo la ecuación cuadrática: [ c = \frac{2 \pm \2^2 - 4 \cdot 3a}}{2} ] [ c = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12a}}{2} ]

Para que (c) sea positiva, tomamos la raíz positiva: [ c = \frac{2 + \sqrt{4 - 12a}}{2} ]

Sustituyendo (n = 2): [ 2 = \frac{2 + {4 - 12a}}{2} ] [ 4 = 2 + \sqrt{4 - 12a} ] [ {4 - 12a} = 2 ] [ 4 - 12a = 4 ] [ a = 0 ]

Por lo tanto, la hipotenusa (c) es igual a la proyección del cateto mayor: [ c = a + n = 0 + 2 = 2 ,cm]

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A) 3 cm.