Respuestas:
Porcentaje datos en (R-S , R+S): 59%
Porcentaje datos en (R-2·S , R+2·S): 100%
Porcentaje datos en (R-3·S , R +3·S): 100%
Explicación paso a paso:
Para hallar el porcentaje de datos incluidos en los intervalos primero debemos escribir correctamente los intervalos:
(R−S , R + S)
(R−2·S , R + 2·S)
(R−3·S , R + 3·S)
Para la distribución dada, primero debemos calcular la media (R) y la desviación estándar (S) de dicha distribución.
Paso 1) Calcular la media (R)
La media de una distribución de frecuencias se calcula usando la fórmula:
R = ∑ (Xi· fi)/∑(fi)
∑ es el sumatorio. Donde Xi es el punto medio de cada intervalo y fi es la frecuencia correspondiente.
Nos proporcionan la frecuencia de cada intervalo de datos, aunque debemos ordenar los datos:
Intervalo de x frecuencia (fi)
(10 , 20) 5
[20 , 30) 12
[30 , 40) 20
[40 , 50) 11
(50 , 60) 6
Hallamos los puntos medios de cada intervalo:
Intervalo de x punto medio intervalo (xi)
(10 , 20) 15
[20 , 30) 25
[30 , 40) 35
[40 , 50) 45
(50 , 60) 55
Hallamos los productos Xi· fi :
Producto (Xi· fi)
5· 15 = 75
12 · 25 = 300
20 · 35 = 700
11· 45 = 495
6 · 55 = 330
Ya podemos calcular la media:
∑ (Xi· fi) = 75 + 300 + 700 + 495 + 330 = 1900
∑(fi) = 5 + 12 + 20 + 11 + 6 = 54
R = ∑ (Xi· fi)/∑(fi) = 1900/54 = 35.19 esta es la media
Paso 2: Calcular la desviación estándar (S)
La desviación es la separación que hay entre un valor cualquiera y el valor medio del conjunto de datos.
Primer0 calculamos la varianza que es la suma de las desviaciones elevadas al cuadrado dividida entre el total de elementos. Al elevarse al cuadrado las desviaciones, nos aseguramos de que nunca puede tener un resultado negativo. La varianza siempre es mayor o igual a 0. Además si no se elevasen al cuadrado, la suma de las desviaciones de los datos respecto a la media resultaría 0, por esto la varianza nos da unidades al cuadrado, su símbolo es la letra griega sigma minúscula elevada al cuadrado σ²
Para que la interpretación tenga sentido utilizamos la desviación típica o estándar que es la raíz cuadrada de la varianza.
Cálculo de la varianza:
σ² = ∑ (Xi²· fi)/∑(fi) - R²
Hallamos los productos Xi²· fi
Productos (Xi²· fi)
15² · 5 = 225 · 5 = 1125
25² · 12 = 625 · 12 = 7500
35² · 20 = 1225 · 20 = 24500
45²· 11 = 2025· 11 = 22275
55² · 6 = 3025 · 6 = 18150
∑ (Xi²· fi) = 1125 + 7500 + 24500 + 22275 + 18150 = 73550
∑(fi) = 5 + 12 + 20 + 11 + 6 = 54
σ² = ∑ (Xi²· fi)/∑(fi) - R²
σ² = 73550/54 - 35.19² = 1362.04 - 1238.34 = 123.7
S = √σ² = 11.12 Ya sabemos la desviación estándar
Paso 3: Determinar los intervalos y calcular los porcentajes
(R−S , R+S) = (35.19−11.12 , 35.19+11.12) = (24.07 , 34.07)
Observamos que este intervalo abarca los intervalos (20 , 30) y (30 , 40)
Sumamos las frecuencias de esos dos intervalos:
f suma intervalos = 12 + 20 = 32
Recordemos f todos los intervalos = 54
Porcentaje (R−S , R+S) = 32/54 x 100 = 0.59 x 100 = 59% de los datos estudiados
(R−2·S , R+2·S) = (35.19−2x11.12 , 35.19+2x11.12) = (35.19−22.24 , 35.19+22.24) = (12.95 , 57.43)
Observamos que este intervalo abarca los intervalos (10 , 20) , (20 , 30) , (30 , 40) , (40 , 50) , (50 , 60)
Este intervalo abarca la totalidad de los intervalos estudiados, así que es el 100% de los datos
Porcentaje (R−2·S , R+2·S) = 100% de los datos estudiados
(R−3·S , R + 3·S) = (35.19−3x11.12 , 35.19+3x11.12) = (35.19−33.36 , 35.19+33.36) = (1.83 , 68.65)
Observamos que este intervalo abarca los intervalos (10 , 20) , (20 , 30) , (30 , 40) , (40 , 50) , (50 , 60)
Este intervalo también abarca la totalidad de los intervalos estudiados, así que también es el 100% de los datos
Porcentaje (R−3·S , R+3·S) = 100% de los datos estudiados
Respuestas:
Porcentaje datos en (R-S , R+S): 59%
Porcentaje datos en (R-2·S , R+2·S): 100%
Porcentaje datos en (R-3·S , R +3·S): 100%
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Michael Spymore
