Respuesta:
Por lo tanto, la expresión factorizada es:
\[ 12 - x^{4a} - x^{8a} = -(x^{4a} + 4)(x^{4a} - 3) \]
Explicación paso a paso:
Para factorizar la expresión \( 12 - x^{4a} - x^{8a} \), primero observemos que se trata de una diferencia de términos con potencias de \( x \).
1. Reescribimos la expresión para facilitar la factorización:
\[ 12 - x^{4a} - x^{8a} \]
2. Notamos que \( x^{8a} = (x^{4a})^2 \). Esto sugiere que podemos aplicar la factorización de un trinomio cuadrado de la forma \( A^2 - B^2 - C \). Pero primero, reescribimos la expresión en términos de \( x^{4a} \):
\[ 12 - x^{4a} - (x^{4a})^2 \]
3. Ahora, consideremos que esta es una ecuación cuadrática en términos de \( x^{4a} \):
\[ 12 - x^{4a} - (x^{4a})^2 = 12 - x^{4a} - y^2 \quad \text{(donde } y = x^{4a} \text{)}\]
4. La ecuación puede ser factorizada reconociendo la estructura cuadrática:
\[ 12 - y - y^2 \]
5. Reescribimos para ver mejor el formato de la factorización:
\[ -y^2 - y + 12 \]
6. Factorizamos esta cuadrática:
\[ -y^2 - y + 12 = -(y^2 + y - 12) \]
7. Ahora, factorizamos el trinomio \( y^2 + y - 12 \):
\[ y^2 + y - 12 = (y + 4)(y - 3) \]
8. Sustituimos de nuevo \( y = x^{4a} \) en la factorización:
\[ -(y + 4)(y - 3) = -(x^{4a} + 4)(x^{4a} - 3) \]
9. Así, la factorización de la expresión original es:
\[ 12 - x^{4a} - x^{8a} = -(x^{4a} + 4)(x^{4a} - 3) \]
Por lo tanto, la expresión factorizada es:
\[ 12 - x^{4a} - x^{8a} = -(x^{4a} + 4)(x^{4a} - 3) \]