Respuesta :
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Para resolver este problema, necesitamos aplicar conceptos de física, específicamente de movimiento parabólico.
### a) La velocidad inicial para que la pelota impacte en la colina a una altura de 3 m justo cuando llega a su altura máxima:
Primero, vamos a considerar el lanzamiento de la pelota. Dado que la pelota alcanza su altura máxima en la colina de 30° de pendiente, podemos usar la ecuación de movimiento vertical y el hecho de que la velocidad vertical es cero en el punto más alto.
1. **Altura máxima:**
La altura máxima (\( h \)) en un lanzamiento parabólico se puede encontrar con la fórmula:
\[
h = \frac{v_0^2 \sin^2(\theta)}{2g}
\]
donde \( v_0 \) es la velocidad inicial, \( \theta \) es el ángulo de lanzamiento, y \( g \) es la aceleración debido a la gravedad (aproximadamente 9.8 m/s²).
Sabemos que \( h = 3 \) m y \( \theta = 30° \), por lo que:
\[
3 = \frac{v_0^2 \sin^2(30°)}{2 \cdot 9.8}
\]
\[
3 = \frac{v_0^2 \left(\frac{1}{2}\right)^2}{2 \cdot 9.8}
\]
\[
3 = \frac{v_0^2 \cdot \frac{1}{4}}{19.6}
\]
\[
3 = \frac{v_0^2}{78.4}
\]
\[
v_0^2 = 3 \cdot 78.4
\]
\[
v_0^2 = 235.2
\]
\[
v_0 = \sqrt{235.2}
\]
\[
v_0 \approx 15.34 \, \text{m/s}
\]
### b) Dónde y cuándo impacta la pelota si la velocidad inicial es 10 m/s y 30° sobre la horizontal:
1. **Componentes de la velocidad inicial:**
\[
v_{0x} = v_0 \cos(\theta) = 10 \cos(30°) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 8.66 \, \text{m/s}
\]
\[
v_{0y} = v_0 \sin(\theta) = 10 \sin(30°) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \, \text{m/s}
\]
2. **Tiempo de vuelo hasta la altura máxima:**
\[
t_{\text{max}} = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{5}{9.8} \approx 0.51 \, \text{s}
\]
3. **Altura máxima alcanzada:**
\[
h_{\text{max}} = v_{0y} \cdot t_{\text{max}} - \frac{1}{2} g t_{\text{max}}^2
\]
\[
h_{\text{max}} = 5 \cdot 0.51 - \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot (0.51)^2
\]
\[
h_{\text{max}} \approx 2.55 - 1.27 = 1.28 \, \text{m}
\]
4. **Tiempo total de vuelo:**
El tiempo de subida es igual al tiempo de bajada, por lo que el tiempo total de vuelo es el doble del tiempo para alcanzar la altura máxima.
\[
t_{\text{total}} = 2 \cdot t_{\text{max}} \approx 2 \cdot 0.51 = 1.02 \, \text{s}
\]
5. **Distancia horizontal recorrida:**
\[
x = v_{0x} \cdot t_{\text{total}} = 8.66 \cdot 1.02 \approx 8.83 \, \text{m}
\]
Dado que la colina tiene una pendiente de 30°, la pelota impactará en la colina en un punto que cumpla con la ecuación de la línea inclinada \( y = x \tan(30°) \).
### c) Dónde y cuándo impacta la pelota si la velocidad inicial es 15 m/s y 30° sobre la horizontal:
1. **Componentes de la velocidad inicial:**
\[
v_{0x} = v_0 \cos(\theta) = 15 \cos(30°) = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 12.99 \, \text{m/s}
\]
\[
v_{0y} = v_0 \sin(\theta) = 15 \sin(30°) = 15 \cdot \frac{1}{2} = 7.5 \, \text{m/s}
\]
2. **Tiempo de vuelo hasta la altura máxima:**
\[
t_{\text{max}} = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{7.5}{9.8} \approx 0.77 \, \text{s}
\]
3. **Altura máxima alcanzada:**
\[
h_{\text{max}} = v_{0y} \cdot t_{\text{max}} - \frac{1}{2} g t_{\text{max}}^2
\]
\[
h_{\text{max}} = 7.5 \cdot 0.77 - \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot (0.77)^2
\]
\[
h_{\text{max}} \approx 5.78 - 2.91 = 2.87 \, \text{m}
\]
4. **Tiempo total de vuelo:**
\[
t_{\text{total}} = 2 \cdot t_{\text{max}} \approx 2 \cdot 0.77 = 1.54 \, \text{s}
\]
5. **Distancia horizontal recorrida:**
\[
x = v_{0x} \cdot t_{\text{total}} = 12.99 \cdot 1.54 \approx 20.00 \, \text{m}
\]
Similarmente, la pelota impactará en la colina en un punto que cumpla con la ecuación de la línea inclinada \( y = x \tan(30°) \).
### Resumen:
- **a)** La velocidad inicial necesaria es aproximadamente \( 15.34 \, \text{m/s} \).
- **b)** Con una velocidad inicial de \( 10 \, \text{m/s} \) a 30°, la pelota impacta aproximadamente a \( 8.83 \, \text{m} \) de distancia en \( 1.02 \, \text{s} \).
- **c)** Con una velocidad inicial de \( 15 \, \text{m/s} \) a 30°, la pelota impacta aproximadamente a \( 20.00 \, \text{m} \) de distancia en \( 1.54 \, \text{s} \).