Respuesta:
Para determinar cómo varía el área de un triángulo cuando se modifica su base y altura, sigamos estos pasos:
1. Cálculo del cambio en la base y altura:
- La base aumenta en un 20%, lo que significa que la nueva base \( B' \) es:
\[
B' = B \times (1 + 0.20) = B \times 1.20
\]
- La altura disminuye en un 15%, por lo tanto, la nueva altura \( H' \) es:
\[
H' = H \times (1 - 0.15) = H \times 0.85
\]
2. Cálculo del área del triángulo original y del triángulo modificado:
- El área del triángulo original es:
\[
\text{Área original} = \frac{1}{2} \times B \times H
\]
- El área del triángulo modificado es:
\[
\text{Área modificada} = \frac{1}{2} \times B' \times H' = \frac{1}{2} \times (B \times 1.20) \times (H \times 0.85)
\]
Simplificando,
\[
\text{Área modificada} = \frac{1}{2} \times 1.20 \times 0.85 \times B \times H
\]
\[
\text{Área modificada} = 1.02 \times B \times H
\]
3. Cálculo del porcentaje de variación del área:
- Comparemos el área original con el área modificada para determinar la variación porcentual:
\[
\frac{\text{Área modificada} - \text{Área original}}{\text{Área original}} \times 100\%
\]
\[
\frac{1.02 \times B \times H - B \times H}{\frac{1}{2} \times B \times H} \times 100\%
\]
\[
\frac{1.02 - 1}{1} \times 100\%
\]
\[
0.02 \times 100\% = 2\%
\]
Por lo tanto, el área del triángulo aumenta en un \( \boxed{2\%} \) cuando la base aumenta en un 20% y la altura disminuye en un 15%.
