En el corral se tienen 10 patos y 30 conejos
Establecemos las ecuaciones que modelan la situación del problema
Llamamos variable "x" a la cantidad de patos y variable "y" a la cantidad de conejos
Donde sabemos que
El total de cabezas en el corral es de 40
Donde el total de patas en el corral es de 140
Teniendo un pato 2 patas
Teniendo un conejo 4 patas
Estamos en condiciones de plantear un sistema de ecuaciones que satisfaga al problema
El sistema de ecuaciones:
Sumamos la cantidad de patos y de conejos para establecer la primera ecuación y la igualamos a la cantidad de cabezas que hay en total en el corral
[tex]\large\boxed {\bold {x + y = 40 }}[/tex] [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }[/tex]
Luego como un pato tiene 2 patas y un conejo tiene 4 patas planteamos la segunda ecuación, y la igualamos a la cantidad de patas que hay en total en el corral
[tex]\large\boxed {\bold {2x + 4y =140 }}[/tex] [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }[/tex]
Luego
Despejamos y en la primera ecuación
En
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {x + y = 40 }}[/tex]
Despejamos y
[tex]\large\boxed {\bold {y =40 -x }}[/tex] [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3}[/tex]
Resolvemos el sistema de ecuaciones
Reemplazando
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {y =40 -x }}[/tex]
[tex]\large\textsf {En Ecuaci\'on 2 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {2x + 4y =140 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {2x + 4\ (40-x) = 140 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {2x + 160 -4x = 140 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {2x -4x + 160 = 140 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {-2x + 160 = 140 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {-2x = 140-160 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { -2x = -20 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x = \frac{-20}{-2} }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { x = 10 }}[/tex]
Luego el número de patos que se tienen en el corral es de 10
Hallamos la cantidad de conejos
Reemplazando el valor hallado de x en
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {y =40 -x }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {y =40 -10 }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {y =30 }}[/tex]
Por tanto la cantidad de conejos que se tienen en el corral es de 30
Verificación
Reemplazamos los valores hallados para x e y en el sistema de ecuaciones
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {x + y = 40 }}[/tex]
[tex]\bold {10 \ patos + 30 \ conejos = 40 \ cabezas }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {40 \ cabezas = 40 \ cabezas }}[/tex]
[tex]\textsf{Se cumple la igualdad }[/tex]
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {2x + 4y =140 }}[/tex]
[tex]\bold { 2 \ patas \cdot 10 \ patos \ + 4 \ patas \cdot 30 \ conejos = 140 \ patas}[/tex]
[tex]\bold {20 \ patas + 120 \ patas =140 \ patas }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {140 \ patas =140 \ patas }}[/tex]
[tex]\textsf{Se cumple la igualdad }[/tex]
Para finalizar si este problema se hubiese resuelto de manera gráfica, se trazarían las rectas que componen el sistema de ecuaciones con dos incógnitas que modelan el problema. Encontrándose la solución al problema en el punto que las 2 rectas se intersecan
Se agrega la representación gráfica sólo a fines ilustrativos
