Respuesta:
Explicación paso a paso:
Sistema de Ecuaciones:
2x₁ - x₂ - 3x₃ = 5
3x₁ - 2x₂ + 2x₃ = 5
5x₁ - 3x₂ + x₃ = 16
Método de Eliminación:
Este método consiste en combinar las ecuaciones de manera que se eliminen variables hasta obtener una ecuación con una sola incógnita.
Eliminación de x₃:
Sumamos la primera y segunda ecuación para eliminar x₃: (2x₁ - x₂ - 3x₃) + (3x₁ - 2x₂ + 2x₃) = 5 + 5 5x₁ - 3x₂ = 10 (Nueva ecuación 1)
Sustitución y Resolución:
Restamos la nueva ecuación 1 de la tercera ecuación para eliminar 5x₁ - 3x₂:
(5x₁ - 3x₂ + x₃) - (5x₁ - 3x₂) = 16 - 10
x₃ = 6
Sustituimos el valor de x₃ en la nueva ecuación 1:
5x₁ - 3x₂ = 10
5x₁ - 3x₂ = 10 (No aporta nueva información)
Como no obtenemos una nueva ecuación independiente, podemos elegir cualquiera de las ecuaciones originales y sustituir el valor de x₃. Elijamos la primera:
2x₁ - x₂ - 3(6) = 5
2x₁ - x₂ - 18 = 5
2x₁ - x₂ = 23
Despejamos x₂:
x₂ = 2x₁ - 23
Sustituimos x₂ en la nueva ecuación 1:
5x₁ - 3(2x₁ - 23) = 10
5x₁ - 6x₁ + 69 = 10
-x₁ = -59
x₁ = 59
Sustituimos x₁ en la expresión de x₂:
x₂ = 2(59) - 23
x₂ = 95
Solución del Sistema:
x₁ = 59
x₂ = 95
x₃ = 6
Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es:
x₁ = 59
x₂ = 95
x₃ = 6
Método de Matrices (Opcional):
Este método es más eficiente para sistemas más grandes, pero requiere conocimientos de álgebra lineal.
Pasos:
Formar la matriz aumentada del sistema.
Aplicar operaciones elementales por filas para triangularizar la matriz.
Resolver el sistema triangularizado mediante sustitución hacia atrás.
Interpretación de la Solución:
La solución encontrada indica que los valores de x₁, x₂ y x₃ que satisfacen simultáneamente las tres ecuaciones son 59, 95 y 6, respectivamente.
