Respuesta :
Las distancias desde los controles policiales A y B hasta la emisora son de aproximadamente 88.96 metros y de 104.88 metros respectivamente
Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.
Donde para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-
Teorema del Seno:
El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.
Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,
Entonces se cumple la relación:
[tex]\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}[/tex]
Representamos la situación en un triángulo ABC: el cual está conformado por el lado AB (c) que representa la distancia entre los dos controles policiales A y B- donde el control policial A se ubica en el vértice A y el control policial B en el vértice B- y los lados AE (b) y BE (b) que equivalen a las dos distancias desde el control policial A y desde el control policial B respectivamente hasta donde se encuentra la emisora clandestina, -en el vértice o punto E-. Donde el control policial A avista a la emisora clandestina -ubicada en E- con un ángulo de 58° y el control policial B visualiza el mismo punto con un ángulo de 46°
Ver gráfico adjunto
En donde se pide calcular:
Para localizar sobre el terreno la emisora clandestina E:
Determinar indistintamente la distancia desde el control policial A hasta la emisora E (AE) o la distancia desde el control policial B hasta la emisora E (BE)
Denotamos a los ángulos dados por enunciado de avistamiento hacia la emisora clandestina: de 58° -para el control policial A - y de 46° -para el control policial B - como α y β respectivamente
Hallamos el valor del tercer ángulo E -donde se encuentra la emisora clandestina- al cual denotamos como γ
Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°:
Planteamos:
[tex]\boxed {\bold { 180^o = 58^o+ 46^o+ \gamma }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\gamma = 180^o -58^o- 46^o }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {\gamma = 76^o }}[/tex]
El valor del ángulo E (γ) es de 76°- el cual es el ángulo comprendido por las dos distancias respectivas desde los controles policiales A y B hasta la emisora -
Determinamos la distancia entre el control policial A y la emisora E:
Hallando el valor del lado b (lado AE) -distancia desde el control policial A hasta la emisora-
[tex]\bold{\overline{AE} =b}[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold { \frac{b}{ sen( \beta ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(B ) } = \frac{c}{sen(E)} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{b}{ sen (46^o ) } = \frac{120\ m }{sen(76^o) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { b = \frac{ 120 \ m \cdot sen(46^o ) }{\ sen(76^o) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { b = \frac{ 120 \ m \cdot 0.719339800339 }{0.970295726276} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { b = \frac{ 86.32077604068 }{ 0.970295726276 }\ m}}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { b \approx88.9633 \ metros }}[/tex]
[tex]\textsf{Redondeando }[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold { b \approx\ 88.96 \ metros }}[/tex]
La distancia desde el control policial A hasta la emisora es de aproximadamente 88.96 metros
Calculamos la distancia entre el control policial B y la emisora E:
Hallando el valor del lado a (lado BE) -distancia desde el control policial B hasta la emisora-
[tex]\bold{\overline{BE} =a}[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{c}{sen(\gamma )} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{c}{sen(E)} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{a}{ sen (58^o ) } = \frac{ 120 \ m }{sen(76^o) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { a = \frac{ 120 \ m \cdot sen(58^o ) }{\ sen(76^o) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { a = \frac{ 120 \ m \cdot 0.848048096156 }{ 0.970295726276 } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { a = \frac{ 101.76577153872 }{ 0.970295726276 }\ m}}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { a \approx 104.8811 \ metros }}[/tex]
[tex]\textsf{Redondeando }[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold { a \approx 104.88 \ metros }}[/tex]
La distancia desde el control policial B hasta la emisora es de aproximadamente 104.88 metros
Se adjunta gráfico a escala para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteados, donde se comprueba el resultado obtenido
