Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.
Donde para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-
El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.
Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,
Entonces se cumple la relación:
[tex]\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}[/tex]
Representamos la situación en un triángulo ABC: el cual está conformado por el lado AB (c) que representa la distancia entre las dos ciudades A y B- donde la ciudad A se ubica en el vértice A y la ciudad B en el vértice B- y los lados AC (b) y BC (b) que equivalen a las dos distancias desde la ciudad A y desde la ciudad B respectivamente hasta el punto donde se encuentra la bandera, -en el vértice o punto C-. Donde desde la ciudad A se avista a la bandera -ubicada en C- con un ángulo de 35° y desde la ciudad B se visualiza el mismo punto con un ángulo de 50°
Denotamos a los ángulos dados por enunciado de avistamiento hacia la bandera: de 35° -para la ciudad A - y de 50° -para la ciudad B - como α y β respectivamente
Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°:
Planteamos:
[tex]\boxed {\bold { 180^o = 35^o+ 50^o+ \gamma }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\gamma = 180^o -35^o- 50^o }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {\gamma = 95^o }}[/tex]
[tex]\bold{\overline{AC} =b}[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold { \frac{b}{ sen( \beta ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(B ) } = \frac{c}{sen(C)} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{b}{ sen (50^o ) } = \frac{15 \ km }{sen(95^o) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { b = \frac{ 15 \ km \cdot sen(50^o ) }{\ sen(95^o) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { b = \frac{ 15 \ km \cdot 0.766044443119 }{0.996194698092} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { b = \frac{11.490666646785 }{ 0.996194698092}\ km}}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { b \approx11.5345 \ km }}[/tex]
[tex]\textsf{Redondeando }[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold { b \approx\ 11.53 \ km }}[/tex]
[tex]\bold{\overline{BC} =a}[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{c}{sen(\gamma )} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{c}{sen(C)} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{a}{ sen (35^o ) } = \frac{15 \ km }{sen(95^o) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { a = \frac{ 15 \ km \cdot sen(35^o ) }{\ sen(95^o) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { a = \frac{ 15 \ km \cdot 0.573576436351 }{0.996194698092} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { a = \frac{ 8.603646545265 }{ 0.996194698092 }\ km}}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { a \approx 8.6365 \ km }}[/tex]
[tex]\textsf{Redondeando }[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold { a \approx8.64 \ km }}[/tex]
Se adjunta gráfico a escala para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteados, donde se comprueba el resultado obtenido
