Respuesta :
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Para comprobar que los puntos \(A(-2, -1)\), \(B(-4, 3)\), \(C(3, 5)\) y \(D(5, 11)\) forman un paralelogramo y determinar la medida del ángulo obtuso que forman sus diagonales, seguimos estos pasos:
1. **Comprobar que los puntos forman un paralelogramo:**
- Los vectores opuestos deben ser iguales.
- Calculamos los vectores \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{BC} \), \( \overrightarrow{CD} \), \( \overrightarrow{DA} \).
\[
\overrightarrow{AB} = B - A = (-4 - (-2), 3 - (-1)) = (-2, 4)
\]
\[
\overrightarrow{BC} = C - B = (3 - (-4), 5 - 3) = (7, 2)
\]
\[
\overrightarrow{CD} = D - C = (5 - 3, 11 - 5) = (2, 6)
\]
\[
\overrightarrow{DA} = A - D = (-2 - 5, -1 - 11) = (-7, -12)
\]
Ahora, verificamos si los vectores opuestos son iguales.
\[
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \quad \text{(No son iguales)}
\]
\[
\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DA} \quad \text{(No son iguales)}
\]
2. **Calcular las diagonales:**
- Calculamos los vectores de las diagonales \( \overrightarrow{AC} \) y \( \overrightarrow{BD} \).
\[
\overrightarrow{AC} = C - A = (3 - (-2), 5 - (-1)) = (5, 6)
\]
\[
\overrightarrow{BD} = D - B = (5 - (-4), 11 - 3) = (9, 8)
\]
3. **Calcular el ángulo entre las diagonales:**
- El ángulo entre dos vectores se puede calcular usando la fórmula del producto punto.
\[
\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}}{\|\overrightarrow{AC}\|\|\overrightarrow{BD}\|}
\]
\[
\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = (5)(9) + (6)(8) = 45 + 48 = 93
\]
\[
\|\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}
\]
\[
\|\overrightarrow{BD}\| = \sqrt{9^2 + 8^2} = \sqrt{81 + 64} = \sqrt{145}
\]
\[
\cos(\theta) = \frac{93}{\sqrt{61} \cdot \sqrt{145}} = \frac{93}{\sqrt{8845}}
\]
\[
\theta = \cos^{-1} \left( \frac{93}{\sqrt{8845}} \right)
\]
4. **Determinar si el ángulo es obtuso o agudo:**
- Si \( \theta > 90^\circ \), es obtuso. Si \( \theta < 90^\circ \), es agudo.
Nota: Dado que la pregunta proporciona los ángulos 117° y 36°, y hemos verificado que los puntos no forman un paralelogramo, es probable que haya un error en los puntos dados o en la interpretación del problema. Asegúrate de verificar los puntos y las condiciones del problema.
Respuesta:
sigueme para
explicacion paso a paso
Para comprobar que los puntos A(-2, −1), B(-4, 3), C(3, 5) y D(5, 11) son los vértices de un paralelogramo, se puede verificar que los vectores que forman los lados opuestos son iguales.
1. Calcular los vectores AB y CD:
- AB = B - A = (-4 - (-2), 3 - (-1)) = (-2, 4)
- CD = D - C = (5 - 3, 11 - 5) = (2, 6)
2. Calcular los vectores AD y BC:
- AD = D - A = (5 - (-2), 11 - (-1)) = (7, 12)
- BC = C - B = (3 - (-4), 5 - 3) = (7, 2)
Los lados opuestos no son iguales, por lo que los puntos no forman un paralelogramo.
Para determinar la medida del ángulo obtuso que forman sus diagonales, primero se deben calcular las diagonales AC y BD:
- AC = C - A = (3 - (-2), 5 - (-1)) = (5, 6)
- BD = D - B = (5 - (-4), 11 - 3) = (9, 8)
Usando la fórmula del producto punto para encontrar el ángulo θ entre las diagonales:
\[
\cos(θ) = \frac{AC \cdot BD}{|AC||BD|}
\]
Calcular el producto punto y las magnitudes:
- AC · BD = (5)(9) + (6)(8) = 45 + 48 = 93
- |AC| = √(5² + 6²) = √(25 + 36) = √61
- |BD| =