Respuesta:
Explicación paso a paso:
Vamos a analizar la función
(
)
=
2
+
6
+
10
f(x)=x
2
+6x+10 y responder a cada una de las partes de tu pregunta.
A) Encuentra la coordenada del vértice
La forma estándar de una función cuadrática es
(
)
=
2
+
+
f(x)=ax
2
+bx+c. En este caso,
=
1
a=1,
=
6
b=6, y
=
10
c=10.
La coordenada del vértice de una parábola dada por
(
)
=
2
+
+
f(x)=ax
2
+bx+c se puede encontrar usando la fórmula:
=
−
2
x
v
=−
2a
b
Calculamos
x
v
:
=
−
6
2
⋅
1
=
−
6
2
=
−
3
x
v
=−
2⋅1
6
=−
2
6
=−3
Ahora encontramos
y
v
sustituyendo
x
v
en la función
(
)
f(x):
=
(
−
3
)
=
(
−
3
)
2
+
6
(
−
3
)
+
10
y
v
=f(−3)=(−3)
2
+6(−3)+10
=
9
−
18
+
10
=
1
y
v
=9−18+10=1
Por lo tanto, la coordenada del vértice es
(
−
3
,
1
)
(−3,1).
B) El dominio y el rango de la función
Dominio:
La función cuadrática
(
)
=
2
+
6
+
10
f(x)=x
2
+6x+10 es un polinomio, y los polinomios están definidos para todos los números reales. Por lo tanto, el dominio de
(
)
f(x) es:
Dominio
=
=
(
−
∞
,
∞
)
Dominio=R=(−∞,∞)
Rango:
La parábola abre hacia arriba porque el coeficiente de
2
x
2
(que es 1) es positivo. El valor mínimo de la parábola se encuentra en el vértice. Como el vértice está en
(
−
3
,
1
)
(−3,1), el valor mínimo de
y es 1. Por lo tanto, el rango de
(
)
f(x) es:
Rango
=
[
1
,
∞
)
Rango=[1,∞)
C) Traza la gráfica de la función
Para trazar la gráfica de la función
(
)
=
2
+
6
+
10
f(x)=x
2
+6x+10, primero identificamos algunos puntos clave, incluyendo el vértice y algunos puntos adicionales:
Vértice:
(
−
3
,
1
)
(−3,1)
Intersección con el eje
y: Cuando
=
0
x=0,
(
0
)
=
0
2
+
6
⋅
0
+
10
=
10
f(0)=0
2
+6⋅0+10=10
Punto:
(
0
,
10
)
(0,10)
Algunos puntos adicionales:
=
−
2
x=−2:
(
−
2
)
=
(
−
2
)
2
+
6
(
−
2
)
+
10
=
4
−
12
+
10
=
2
f(−2)=(−2)
2
+6(−2)+10=4−12+10=2
Punto:
(
−
2
,
2
)
(−2,2)
=
−
4
x=−4:
(
−
4
)
=
(
−
4
)
2
+
6
(
−
4
)
+
10
=
16
−
24
+
10
=
2
f(−4)=(−4)
2
+6(−4)+10=16−24+10=2
Punto:
(
−
4
,
2
)
(−4,2)
Aquí hay un bosquejo de la gráfica:
yaml
Copiar código
y
|
10| *
| |
| |
| |
| |
7| |
| |
| |
| |
| |
4| |
| |
| |
| |
| |
1|----------------|-----------------------> x
| (-3,1)
| * |
| * |
-2| * *
| -4 -3 -2 -1 0 1
|
En el gráfico, el vértice
(
−
3
,
1
)
(−3,1) es el punto más bajo de la parábola, y la parábola se abre hacia arriba, pasando por los puntos
(
0
,
10
)
(0,10),
(
−
2
,
2
)
(−2,2) y
(
−
4
,
2
)
(−4,2).
Así, tenemos:
Coordenada del vértice:
(
−
3
,
1
)
(−3,1)
Dominio:
=
(
−
∞
,
∞
)
R=(−∞,∞)
Rango:
[
1
,
∞
)
[1,∞)
Gráfica de la función mostrada arriba.
