Respuesta:
Para resolver este problema, llamemos \( v \) a la rapidez inicial de Pablo en km/h.
Pablo quiere recorrer 9 km. Después de avanzar 3 km, se detiene 12 minutos (0.2 horas), por lo cual tendrá que moverse 1 km/h más rápido para llegar a tiempo a su destino.
### Paso 1: Tiempo sin la detención
Si no se hubiera detenido, el tiempo que hubiera tardado en recorrer los 9 km es:
\[ t = \frac{9 \text{ km}}{v \text{ km/h}} \]
### Paso 2: Tiempo con la detención
Avanza 3 km a la velocidad inicial \( v \):
\[ t_1 = \frac{3 \text{ km}}{v \text{ km/h}} \]
Luego se detiene 12 minutos, es decir, 0.2 horas:
\[ t_{\text{detención}} = 0.2 \text{ horas} \]
Después, recorre los restantes 6 km a una velocidad \( v + 1 \) km/h:
\[ t_2 = \frac{6 \text{ km}}{(v + 1) \text{ km/h}} \]
### Paso 3: Igualar tiempos
El tiempo total con la detención debe ser igual al tiempo sin la detención:
\[ t_1 + t_{\text{detención}} + t_2 = t \]
Sustituimos los valores:
\[ \frac{3}{v} + 0.2 + \frac{6}{v + 1} = \frac{9}{v} \]
### Paso 4: Resolver la ecuación
Multiplicamos toda la ecuación por \( v(v + 1) \) para eliminar los denominadores:
\[ 3(v + 1) + 0.2v(v + 1) + 6v = 9(v + 1) \]
Expandimos y simplificamos:
\[ 3v + 3 + 0.2v^2 + 0.2v + 6v = 9v + 9 \]
\[ 0.2v^2 + 9.2v + 3 = 9v + 9 \]
Restamos \( 9v \) y 9 de ambos lados:
\[ 0.2v^2 + 0.2v + 3 = 9 \]
\[ 0.2v^2 + 0.2v - 6 = 0 \]
Dividimos toda la ecuación entre 0.2:
\[ v^2 + v - 30 = 0 \]
Resolvemos la ecuación cuadrática usando la fórmula general \( v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), donde \( a = 1 \), \( b = 1 \), y \( c = -30 \):
\[ v = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2} \]
\[ v = \frac{-1 \pm \sqrt{121}}{2} \]
\[ v = \frac{-1 \pm 11}{2} \]
Tomamos la solución positiva:
\[ v = \frac{10}{2} \]
\[ v = 5 \]
Respuesta
La rapidez inicial de Pablo es 5 km/h.
